4.高二(1)班有 50 名同学,现要从中抽取 6 名同学参加讨论会,各名 同学的机会均等.若采用抽签法,该如何进行? 解:步骤如下: (1)给 50 名同学编号,号码为 01,02,…,50; (2)将 50 名同学的编号分别写在一张小纸条上,并揉成小球,制成号 签; (3)将得到的号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀; (4)从容器中逐个抽取 6 个号签,并记录上面的编号, 如:02,21,26,09,45,17; (5)对应上面 6 个编号的同学就是参加讨论会的同学.
解析:A 中的总体容量较大,用简单随机抽样法比较麻烦;B 中的总 体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C 中由于学校各类人员对这 一问题的看法可能差异很大,不宜采用简单随机抽样法;D 中总体容量 较大,且各类田地的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样法. 答案:B
题型二、简单随机抽样方案设计
【例 2】某校有学生 1 200 人,为了调查某种情况,打算抽取一个样 本容量为 50 的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行? ⦾思路分析:简单随机抽样分为两种:抽签法和随机数法,尽管此题的 总体中的个体数不少,但依题意其操作过程仍能保证每个个体被抽到 的机会是相等的. 解法一:首先将该校学生都编上号码:0001,0002,0003,…,1200,如用 抽签法,则制作 1 200 个形状、大小相同的号签,然后将这些号签放在一 个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 50 次,就得到 一个容量为 50 的样本.
(2)随机数法 随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数 进行抽样.下面只介绍随机数表法. 用抽签法抽取样本时,编号的过程有时可以省略(如用已有编号),但 制签的过程就难以省去了,而且制签也比较麻烦.简化制签过程的一个有 方法产生的,这样的 表称为随机数表.于是,我们只需按一定的规则到随机数表中选取号码就 可以了.这种抽样方法就是随机数表法. 用随机数表法抽取样本可以按如下步骤进行: (1)将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数作为开始; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中, 则跳过;若在编号中,则取出,得到的号码若在前面已经取出,也跳过,如此 进行下去,直到取满为止; (4)根据选定的号码抽取样本.
一般地,用抽签法从容量为 N 的总体中抽取一个容量 为 n 的样本的步骤为: (1)给总体中的所有个体编号(号码可以从 1 到 N); (2)将 1~N 这 N 个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用 小球、卡片、纸条等制作); (3)将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀; (4)从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取 n 次; (5)从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出作为样本 .
第二章
统计
§2.1.1 简单随机抽样
据报道,第五次人口普查,2000 年年底中国人口总量应是 129 533 万 人.2007 年 4 月份,我国人口姓氏中以王姓最多,人口普查的工作量由上 述数据可知是何等的巨大,那么一般的统计工作,如何进行调查呢?仍然 使用普查的方法吗?有一种调查的方法比较科学,那就是抽样调查.那如 何进行抽样调查呢?
2.现从 80 件产品中随机抽出 20 件进行质量检验,在这个问题中,总 体、样本和样本容量分别是 、 、 . 解析:总体是 80 件产品的质量;样本是抽取的 20 件产品的质量;样 本容量是 20. 答案:80 件产品的质量 抽取的 20 件产品的质量 20 3.下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由. (1)从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本; (2)盒子里共有 80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样 操作时,从中任意拿出 1 个零件进行质量检验后再把它放回盒子里. 解:具备简单随机抽样的特点的抽样,就是简单随机抽样. (1)不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而 不是有限的. (2)不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样.
3600,则减去 2400;…;依次类推.如果遇到相同的号码,则只留取第一次 读取的数字,其余的舍去,这样被抽取的学生所对应的号码依次 是:0438,0682,1022,0762,0709,0606,0644,0853,1183,0130,0616,1077,103 9,0154,0754,1017,0193,1178,0335,0896,0784,0234,0764,0042,…,直到取 足 50 人为止.
(2)简单随机抽样的特点 ①被抽取样本的总体中的个体数 N 是有限的. ②抽取的样本个体数 n 小于或等于总体中的个体数 N. ③样本是从总体中逐个抽取的. ④简单随机抽样是一种不放回抽样. ⑤简单随机抽样是一种等可能抽样. n ⑥每个个体入样的可能性均为 .
N
3.常用的简单随机抽样方法 最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法. (1)抽签法(抓阄法) 一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上, 将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n(n≤N)的样本. 抽签法简单易行,当总体中的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀” 的状态比较容易,这时每个个体有均等的机会被抽中,从而能够保证样 本的代表性.但是,当总体中的个体数较多时,将总体“搅拌均匀”就比较 困难,用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大.
2-1 要从某厂生产的 30 台机器中随机抽取 3 台进行测试.请选择合 适的抽样方法,并写出抽样过程. 解:选用抽签法.步骤如下: (1)将 30 台机器编号,号码是 01,02,…,30; (2)将号码分别写在形状、大小相同的纸条上,揉成团,制成号签; (3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀; (4)从袋子中逐个抽取 3 个号签,并记录上面的编号; (5)所得号码对应的 3 台机器就是要抽取的对象.
1.总体、个体、样本等概念 (1)总体:我们所要考察对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象 叫做个体. (2)样本:从总体中抽出的若干个个体组成的集合叫做总体的一个 样本,样本中个体的数量叫做样本容量. (3)个体:总体中的每个元素叫做个体. (4)样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量.
2.简单随机抽样 (1)概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个 体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
题型一、简单随机抽样的判定及应用
【例 1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么? (1)从 50 台冰箱中一次性抽取 5 台冰箱进行质量检查. (2)某班有 40 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮 球赛. (3)一彩民选号,从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中逐 个无放回地抽出 6 个号签. 解:(1)不是简单随机抽样.虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响 个体被抽到的可能性,但简单随机抽样的定义要求的是“逐个抽取”. (2)不是简单随机抽样.因为是指定个子最高的 5 名同学参加比赛, 每个个体被抽到的可能性是不同的,不是等可能抽样. (3)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体 中逐个进行抽取的,是不放回、等可能地进行抽样.
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽 样,关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义,即简单随机抽样的特 点.
1-1 下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽样的是( ) A.某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号是 1~40.有一次 报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下 32 名听众进行 座谈 B.从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C.某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16 人,教师 112 人,后勤 人员 32 人.教育部门为了解大家对学校机构改革意见,要从中抽取一个 容量为 20 的样本 D.某乡农田有山地 8 000 亩,丘陵 12 000 亩,平地 24 000 亩,洼地 4 000 亩,现抽取农田 480 亩估计全乡农田平均产量
判断一个抽样能否用简单随机抽样法,关键是看它是否满足下列 特点:(1)总体的个体数目有限;(2)从总体中逐个进行抽取;(3)是不放回 抽样;(4)是等可能抽样. 同时还要注意以下几点: (1)总体中的个体性质相似,无明显层次; (2)总体中的个体数目较小,尤其是样本容量较小; (3)用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性,个体间无固定间距.
解法二:首先将该校学生都编上号码:0001,0002,0003,…,1200,如用随机 数表法,则先在随机数表中选定一个数,如第 5 行第 9 列的数字 6,从 6 开始向右连续读取数字,以 4 个数为一组,遇到右边线时向下错一行向 左继续读取,所得数字如 下:6438,5482,4622,3162,4309,9006,1844,3253,2383,0130,3016,2277,943 9,4954,4354,8217,3793,2378,8735,2096,4384,2634,9164,8442,…,所抽取 的数字如果小于或等于 1200,则对应此号的学生就是被抽取的个体;如 果所抽取的数字大于 1200,而小于或等于 2400,则减去 1200,剩余数字 即是被抽取的学生号码;如果所抽取的数字大于 2400,而小于或等于
5.要考察某公司生产的 350 克袋装洗衣粉的质量是否达标,现从 600 袋这种洗衣粉中抽取 30 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可 以按照怎样的步骤操作?并指出随机数表法的优点和缺点. 解:(1)将 600 袋洗衣粉编号,号码为 000,001,…,599; (2)在随机数表中任选一个数作为开始,如选出第 8 行第 7 列的数 7; (3)从选定的数 7 开始向右读,得到的号码若不在编号 000~599 中, 则跳过,若在编号中则取出,得到的号码若在前面已经取出,也跳过,如此 进行下去,直到取满为止; (4)根据选定的号码抽取样本. 随机数表法的特点: 优点:简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签 法制签难的问题. 缺点:当总体中的个体数很多,需要的样本容量也很大时,用随机数 表法抽取样本仍不方便.