初中数学竞赛专题选讲（初三.5）
对称式
一、内容提要
一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y
x 11+， xyz
x z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）(
)111z y x ++， 2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1.
含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.
2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，
如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：
m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，
∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xy
y x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和z
y x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （z
y x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题
例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222z
y x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111z
y x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z
1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(z
xy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.
求代数式 222222222111b
a c a c
b
c b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝2
22)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴
2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3
分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.
（m, n, p 是待定系数）
令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；
令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；
令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩
⎪⎨⎧===631p n m
∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.
例5. 因式分解：
① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；
② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.
解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.
∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.
用待定系数法：
得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)
比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.
∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).
② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0
∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5
＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；
令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.
解方程组⎩⎨⎧=+=+480
680n m n m
得⎩
⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).
三、练习
1.
已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.
3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4. 计算：（x+y ）
5.
5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.
6. 因式分解：
① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；
② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；
③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；
④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.
7. 已知：abc
c b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.
8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋ab
cb ca c c +--22
. 9. 已知：S ＝2
1（a+b+c ）. 求证：16
)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).
10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x
1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.
参考答案
1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x
2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)
3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz
4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.
5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.
6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=1
7. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解
8. 1
9. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)
10. 选 C。