们 论单值函数
函数相等
由函数的定 可知 个函数的构 要素 定 域 对 关系和值域 由于值域是由定 域和对
关系决定的 所 如果 个函数的定 域和对 关系完全
们就 个函数相等
域函数的表示方法
⑷核 解析法 用数学式子表示自 量和因 量之间的对 关系的方法 是解析法 例 直角坐标系中
222
半径 征 圆心在原点的圆的方程是 x 为y =征
的元素完全
因 集合 A 集合 B 相等 记作 A B
真子集 如何集合 A 是集合 B 的子集 但 在 个元素属于 B 但 属于 A 们 集合 A 是集合
B 的真子集 空集
们把
任何元素的集合 做空集 记作 ∅ 并规定 空集是任何集合的子集
由 述集合之间的基本关系 可 得到 面的结论
任何 个集合是它本身的子集
函数的
函数的表达式
函数的 形
函数的性质
⑷核 定 域 光样-∞主为∞核 曲
⑸核 是奇函数
干核 在定 域内是单调增
曲余
曲
们再来看
曲函数 角函数的区 曲函数的性质
s穷x t穷x 是奇函数 干穷x 是偶函数
它们都 是周期函数 曲函数 有和差 式
⑷核 定 域 光样-∞主为∞核
⑸核 是偶函数
干核
像过点样0主1核
B
A B ｛x|x∈A 且 x∈B｝
的集合 的集合
A B 的并集 记作 A A B 的交集 记作 A
补集
全集 通常记作 U
般地 如果 个集合 有 们所研
题中所涉及的所有元素 那 就
个集合 全集
补集 对于 个集合 A 由全集 U 中 属于集合 A 的所有元素
的补集 简 集合 A 的补集 记作 CUA
的题
1 学校 开 会 设 A ｛x|x 是参加 百米跑的 学｝ B ｛x|x 是参加 百米跑的 学｝ C
｛x|x 是参加四百米跑的 学｝ 学校规定 每个参加 述比赛的 学 多 能参加
请你用集合的
算说明 规定 并解释 集合 算的
AB
AB
2 在 面直角坐标系中 集合 C {(x,y)|y=x}表示直线 y x
8 数 的极限
们 来回
初等数学中学 的数 的概念
数 若按照 定的法 有第 个数 ⑷1 第 个数 ⑷2 … 依次排 去 使得任何 个 整
数 n 对 着 个确定的数 ⑷n 那
们
有次序的数 ⑷1 ⑷2 … ⑷n … 数 .数 中的每 个数
做数 的 第 n ⑷n 做数 的 般 或通 .
注 们 可 把数 ⑷n 看作自 量 整数 n 的函数
⑸核 表格法 将 系 的自 量值 对 的函数值 表来表示函数关系的方法 是表格法 例 在
实 用中 们经常会用到的 方表 角函数表等来表示函数的方法 是 示法 般用横坐标表示自 量 纵坐标表
示因 量 例 直角坐标系中 半径 征 圆心在原点的圆用 示法表示
⑷⑸
半开区间
⑷ x ⑸或⑷ x ⑸
⑷ ⑸转或[⑷ ⑸
们所述的都是有限区间 除 之外 有无限区间 [⑷ 为∞核 表示 小于 ⑷ 的实数的全体 可记 ⑷ x 为∞
样-∞ ⑸核 表示小于 ⑸ 的实数的全体 可记 -∞ x ⑸
样-∞ 为∞核 表示全体实数 可记 -∞ x 为∞
注 中-∞和为∞
读作"负无 大"和" 无 大"主它们 是数主仅仅是记
注 格增样减核 是单调增样减核
在样⑷ ⑸核 格增样减核 值域 R 它的 函数 然在 R
2
例题 y=x 定 域 样-∞主为∞核 值域 [0主为∞核.对于 y 定的非负值主可求得 x=± .若 们
加条 由 y 的值就 能唯 确定 x 的值 就是在区间样-∞主为∞核 函数 是 格增样减核 故 没有
函数 如果 们加 条 要求 x 0 在 要求 格增样减核.
来说 若 在任意给定的 数 ε样 论 多
例题 函数 4 函数
是 2π 周期的周期函数 函数 t究x 是 π 周期的周期函数
函数的定 设有函数
若 量 y 在函数的值域内任 值 y0 时 量 x 在函数的
定 域内 有 值 x0 之对
示
函数
的 函数.
那 量 x 是 量 y 的函数. 个函数用
来表
注 由 定 可知 函数
是函数
的 函数
函数的 在定理 若 确定 且 格增样减核.
A ⊆A
对于集合 A B C 如果 A 是 B 的子集 B 是 C 的子集
A 是 C 的子集
们可 把相等的集合 做 等集
的话子集包括 真子集 和 等集
集合的基本 算
并集 般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素
B 在求并集时 它们的 共元素在并集中 能
次
A B ｛x|x∈A 或 x∈B｝
交集 般地 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素
邻域 设 从 近 是 个实数 且 近 0.满足 等式│x-从│ 近 的实数 x 的全体 点 从 的
近 邻域 点 从
邻域的中心 近
邻域的半径
2 函数
函数的定 如果 量 x 在
范围内任意 定 个数值时 量 y 按照 定的法 f 总有确
定的数值 它对
y 是 x 的函数 量 x 的 范围 做 个函数的定 域 通常 x 做自 量 y
个集合中元素个数 交集 并集元素个数之间的关系呢
5 无限集合 A ｛1 2 3 4 … n …｝ B ｛2 4 6 8 … 2n …｝ 你能设计 种比较
个集合中元素个数多少的方法吗
2 常量 量
量的定
们在 察某 象的过程时 常常会遇到各种 的量 中有的量在过程中
起
们把 之 常量 有的量在过程中是 的 就是可
如果 a 是集合 A 中的元素 就说 a 属于 A 记作 a∈A 否 就说 a 属于 A 记作 a∉A
全体非负整数 的集合 做非负整数集 或自然数集 所有 整数 的集合 做 整数集 记作 N+或 N+
记作 N
全体整数 的集合 做整数集 记作 Z
全体有理数 的集合 做有理数集 记作 Q
全体实数 的集合 做实数集 记作 R
集合的表示方法
举法 把集合的元素
举 来 并用 ｛｝ 括起来表示集合
述法 用集合所有元素的共 特 来表示集合
集合间的基本关系
子集 般地 对于 个集合 A B 如果集合 A 中的任意 个元素都是集合 B 的元素
说 A B 有包 关系 集合 A 集合 B 的子集 记作 A ⊆ B 或 B ⊇ A
们就
相等 如何集合 A 是集合 B 的子集 且集合 B 是集合 A 的子集 时集合 A 中的元素 集合 B 中
的数值 们 把 之
量 注 在过程中 有 种量 它虽然是 的 但是它的 相对于所研 的对象是极 微小的
们 把它看作常量
量的表示 如果 量的 是连续的 常用区间来表示
范围 在数轴 来说 区间是
指 于某 点之间的线段 点的全体
区间的
区间的满足的 等式
区间的记
区间在数轴 的表示
区间
⑷x⑸
[⑷ ⑸转
开区间
⑷x⑸
的定 域内 那 y 通过 u 的联系 是 x 的函数 们
个函数是由函数
及
复合而 的函数 简 复合函数 记作
注 并 是任意 个函数就能复合 复合函数 可 由更多函数构
例题 函数
函数
是 能复合 个函数的
中 u 做中间 量
因 对于
的定 域样-∞主为∞核中的任何 x 值所对 的 u 值 都大于或等于 2 使
对于样⑷主⑸核内任意 点 x1
及 x2 x1 x2 时 有
函数
在区间样⑷主⑸核内是单调增加的 如果函数
在区间样⑷主⑸核内 着 x 增大而减小
对于样⑷主⑸核内任意 点 x1 及 x2 x1 x2 时 有
函数
在区间样⑷主⑸核内是单调减小的
例题 函数
2
=x 在区间样-∞主0核 是单调减小的 在区间样0主为∞核 是单调增加的
对 y 0 x=
2
就是 y=x 在要求 x 0 时的 函数 是 函数
函数的性质 在 坐标 面内
的 形是关于直线 y=x 对 的
例题 函数
函数
y=x 对 的 如右 所示
互 函数 它们的 形在 直角坐标系中是关于直线
附 复合函数 复合函数的定 若 y 是 u 的函数
而 u 又是 x 的函数
且 的函数
值的全部或部 在
高等数学基本知识点
函数 极限
1 集合的概念
般地 们把研 对象统 元素 把 些元素 的总体 集合 简 集 集合 有确定性 给
定集合的元素 是确定的 和互异性 给定集合中的元素是互 相 的 比如 身材较高的人 能
构 集合 因 它的元素 是确定的
们通常用大 拉 母 A B C ……表示集合 用小写拉 母 a b c……表示集合中的元素
⑷核 定 域 光样-∞主为∞核
⑸核 是奇函数
干核
形夹在水 直线 y=1 及
y=-1 之间 在定域内单调增
角函数的性质
sinx t⑷nx 是奇函数 干osx 是偶函数
都是周期函数
曲函数 曲函数的 函数
曲函数.
⑷核
曲 函数
⑸核
曲余 函数
定 域 样-∞主为∞核 定 域 [1主为∞核
干核
曲 函数
定 域 样-1主为1核
⑸核光 函数是奇函数且
样
函数核
角
函
写了
函数
数
⑷核光由于 函数 多值函数主因
们 函数值限制在[-π/2主π/2转 主
并
函数的 值.
初等函数 由基本初等函数 常数经过有限次的有理 算及有限次的函数复合所 生并且能用 个解析式表 的函数 初等函数.