明：如果 f 为满同态映射，则 ( A ,*) 是阿贝尔群。 16． 分） ( H ,*) ， ( K ,*) 是群 (G ,*) 的正规子群，证明 ( H K ,*) 也是 (G ,*) 的正规子 （6 群。 .
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南京理工大学紫金学院课程考试试卷（学生考试试卷）
课程教学 大纲编号： 990611711 课程名称： 离散数学 考试方式： 闭卷 (计算机科学与技术、网络工程) 学 分： 4 试卷编号： 满分分值： 审定教师： A 100
考Байду номын сангаас时间： 120 分钟 组卷教师： 学 号：
组卷年月： 2010 年 12 月 10 日 学生姓名：
Q 11． 8 分） 是有理数集， * Q { 0} ， （ m,n Q*, m , n Q * , n m 4 mn 。 证明 ( Q * , ) Q
是群。 12． （6 分）设 f 和 g 都是群 ( A , ) 到群 ( B ,*) 的同态映射，证明 ( C , ) 是 ( A , ) 的一个子 群，其中 C { x | x A 且 f ( x ) g ( x )} 。 13． 分） G (V , E ) 是一个无向图，若 V 11 ，则 G 或者 G 是非平面图。 （6
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若 g f 是 A 到 C 的满射，则 g 是 B 到 C 满射。 9． 分） （6 （1）画一个 9 个顶点欧拉图但非哈密尔顿图，它是简单无向图，有偶数条边 （2）画一个 9 个顶点哈密尔顿图但不是欧拉图，它是简单无向图，有偶数条边。 10． 分）有 60 个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。已知这 60 个人中，每个 （6 人至少与其余 30 个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打 过球？试用图论的语言证明之。
a ~b b
1
a H
。试证明
（1）~为 G 上的等价关系； （2）对于 a G ，有 [ a ] ~ a H 。 7． 分）已知集合 A {1, 2 ,3 , 4} ，分别写出满足如下性质的二元关系： （6 （1）该关系具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。 （2）该关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性 8． 分） A ， B ， C 是三个任意非空集合。 f 是 A 到 B 的映射， g 是 B 到 C 的映射。 （6
1． 分）把下列语句翻译为谓词演算公式 （6 （1）有些人喜欢所有的明星； （2）并非“所有人均喜欢电脑游戏； 2． 分）试把函数 h ( x 1 , x 2 , x 4 , x 5 ) f ( g 1 ( a , x 2 ), 4 , g 2 ( x 1 , x 5 ), x 4 ) 化为 ( m , n ) 标准迭置。 （6 3． 分）把下列数论语句化为特征函数 （6 （1） x 为平方数且 x 为偶数； （2） x 是 y 的倍数或 x 小于等于 y ； 4． 分）试用归结原理证明下列公式 （6
* * 14．14． （8 分） Q 是有理数集， Q Q { 0} ，m,n Q*, m , n Q , n m 4 mn 。
* 证明 ( Q , ) 是群. 1 15． 分）已知 ( A ,*) 是一个群， f 是 A 到 A 的映射，且对于 a A , f ( a ) a 。试证 （6
( ( P Q ) (( P R ) ( Q S ))) ( S R )
5． 分）已知集合 A {{ b }, { }}, B {b } ，试求（1） 2 A （8
（2） B 2 A
6． 分）( G ,) 是群，( H ,) 是 ( G ,) 的子群，~是 G 上的二元关系， （6 对于任意的 a , b G ，