D′ A′
D
C′
B′
F C
A
E
B
例 1.在 正 方 体 ABCDABCD中 , (3)E和 F分 别 是 AB和 BB的 中 点 ,在 正 方
体 中 能 找 到 3个 与 EF平 行 的 向 量 吗?
解:(3)在三角A形BB中,因为
D′
EF//AB,
A′
C′ B′
B叫做向量的终点;
表示方法2: 用字母表示 a, b, c…… 或者 a, b, c……
空间向量的大小 空间向量的大小 也叫作向量的长度或模 用AB 或|a |表示
两向量的夹角
A
B
b
b
a
a
O 过空间任意一点Ｏ作向量a , b 的相等
向量OA和 OB,则∠AOB叫作向量
a , b 的夹角,记作< a , b >
(1)首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
推广:
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
《从平面向量到空间向量》
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法: 用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母 a 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b a 向量加法的三角形法则 b 向量加法a的平行四边形法则
规定 0≤< a ,b>≤
两向量的夹角
当< a ,b>=/2时,向量 a 与 b 垂直, 记作: a⊥b
当< a ,b>=0或时,向量 a 与 b 平行, 记作: a // b
例 1.在 正 方 体 ABC DA BC D 中 , (1)向 量 D C ,A B,D C 与 向 量 AB 相 等 吗 ?
上
李明从学校大门口出发,向
北行走100m,再向东行走
东 200m,最后上电梯15m到达
南
住处.
住处
学校
在一个平面内来考虑 既有大小又有方向的量称为平面向量 在一个空间内来考虑 既有大小又有方向的量称为空间向量
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
b
D
C
A
B
空间向量的表示 表示方法1: 用有向线段表示 如 AB , A叫做向量的起点,
C B
向量与直线
l为空间一直线,A,B是直线l上任意两点 则称 AB 为直线l的方向向量. 与 AB 平行的非零向量 a 也为直线l的 方向向量
Bl aA
练习2、过空间中一定点A，作方向向量 为 a 的空间直线。
a A
向量与平面
如果直线l垂直于平面,
l
那么把直线l的方向向量 a
a
叫做平面的法向量.
(1)与 AD 相等的向量有
E
D
A D , BC , B C ．
F
( 2 )向量 AD 的相反向量有
A
D A , CB , C B , ＤＡ .
(3 )与 EF 平行的向量有
A Ｂ , D C , Ｂ A , C Ｄ
C′ B′
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a 向量减法的 三角形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0) 向量的数乘
平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b ) c a (b c ) 数乘分配律： k (a b ) k a＋ k b
推广:
所有与直线l平行的
A
非零向量都是平面的法向量.
练习3、过空间中一定点A，作法向量 为 a 的平面。
a A
小 结:
空间向量的概念 直线的方向向量 法向量
从而EF//AB
F
D
C
EF//BA,EF//DC
A
E
B
练习1、 在长方体 ABCD ABCD中,
(1)举出与向量 AD相等的向量 ;
(2)举出向量 AD的相反向量 ;
(3) AE 1 AA, AF 1 AB,
D′
3
3
举出与 EF平行的向量 . A′
C′ B′
E
D
F A
C B
D′
解:
A′
解 : (1) DC AB ,
A B AB , D C AB
D′ A′
D
C′
B′
F C
A
E
B
例 1.在 正 方 体 A B C D A B C D 中 , (2)向 量 C D ,C D ,B A 与 A B 是 相 反 向 量 吗 ?
解 : (2)CD AB,
CD AB, BA AB