运动学
1、质点运动学 2、刚体(系)运动学
包括：刚体平面运动；点的合成运动
静力学 运动学 动力学
F
a
F ma
1
刨床
2
曲柄滑块机构
3
运动学的应用
输入转动－输出平动
机构的运动学设计
输入转动－输出平动
4
机构的运动分析是机构动力学设计 的必需步骤
曲柄－滑块机构的动力均衡问题
5
第六章 点的运动学
研究目的: 质点运动的数学描述和运动规律。
6
•参考体(reference body): 为研究运动作为参考的物体
•参考系(reference frame):
与参考体固连的坐标系
M
r o
描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法（弧坐标法）
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描述质点运动的量： ◎运动位置-点的空间位置随时间的变化规律 ◎速度－描述点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 ◎加速度－描述点在t瞬时速度大小和方向变化率力学量。 ※轨迹方程－点的空间运动所构成的曲线方程
a
d2r dt 2
r
方向：Dv的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) .
11
第二节 点的运动的直角坐标法
直角坐标法：从固定点O建立直角坐标系，用坐标表示动点位置
一、点的位置描述
zP
z
x = x(t) y = y(t)
O
y
z = z(t)
x xy
12
例：求 P 点的运动方程。
OA R, AB L, AP l, t
M点的运动方程
u
x R( sin) ut R sin t
R
y R(1 cos) R R cos u t
ax
x
u2 R
sin
R
ay
y
u2 R
cos
u2
v 0, ax 0, ay R
17
还有一类问题 A B
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点
其运动轨迹已知。
图示机构研究A、B点运动 两点运动轨迹已知。
8
第一节 点的运动的矢量法
矢量法：用从确定的参考点至动点的矢量表示动点位置
一、点的位置描述： 确定动点任意瞬时在空间位置的方程
P
P´
r r´ r P
O
r = r (t)
9
二、点的速度
v
P
Dr
P´
r(t) r
(t
＋
Dt
)
O
点在 t 瞬时的速度 v lim D r d r r
Dt0 Dt dt
τ dτ dτ ds dt ds dt
P
P'
? s v
•曲率(curvature) k d
ds
•曲率半径(radius curvature)
1
k
dτ ? ds
先看大小
dτ ds
1
dτ lim Dτ ds Ds0 Ds
D
2τsin
lim
2
Ds 0
Ds
D
lim D 2sin 2
Ds0 Ds
dy =0
dt x=L/2
d2 dt
y
2
=
-
8f L2
则： L2
8f
102 8 a L2
f
0.78
m / s2。
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描述点运动的三种方法比较
矢量法－ 简洁、概括，与坐标选择无关。 用于证 明及推导
直角坐标法－简单、实用，常用于运动轨迹未知的情况 自然坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，
数学表达式的含义清晰。
能否利用已知轨迹描述点的运动呢?
18
第三节 点的运动的自然坐标法
自然坐标法：结合轨迹几何形状建立坐标系研究点的运动。 一、点的位置描述
任意一点O为坐标原点，并沿轨迹规
r
定正方向： s s(t )
S是距离轨迹上某点的弧长 问题：S是标量还是矢量？
弧长S是标量
P点的定位矢量： r r[ s (t )]
yA
O
P B
x
解： 在固定点O建立直角坐标系
xp R cos l cos
yp (L l) sin
RL sin sin
xp
R
cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
xp
R cost
l L
L2
R2
sin
2
t
yp
(L
l)
R L
sin t
问题：如何求运动轨迹?
xp l
20
二、点的速度
1 其中 dr lim Dr
ds Dt0 Ds
r r[s(t )]
ds s v 速度大小
dt
dr 的方向与P点的切线方向一致 ds
P点切线方向的单位向量： 所以 dr ＝τ
ds
v vτ
v 和 分别表示速度的大小与方向
21
三、点的加速度 a v, v vτ
a vτ vτ τ ? τ τ[s(t)]
τ dτ dτ ds dt ds dt
vn
n / s v
24
自然轴系
主法线
n
密切面 +s
法 面
M 切线
b
副法线
n b
, n , b 自然轴系
跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
问题：若是平面曲线，自然轴系是怎样的？ 25
加速度分析
a vτ v 2 n
加速度表示为自然轴系分量形式
a a an
z az
x y
z
x ax 0(m/s 2 )
y ay 10(m/s2)
v2
an
v2 a cos300
20 m 3
28
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程 x R cost, y R sint, z Ct
解：
v x2 y2 z2 s R22 C2 const.
选(C)
27
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中
：v 10m/s, a 10m/s 2，设动点的坐标为x , y
求该瞬时动点A的 x, y, x, y,
yv
300
A
解： x vx 10 cos300 (m/s)
y vy 10sin 300(m/s)
o axΒιβλιοθήκη vx vy vzx ax y ay
主法线 n
密切面 +s
法 面
M
b
切线
副法线
速度大小的变化率
速度方向的变化率
a vτ sτ －切向加速度
法向加速度－
an
v2
n
加速度在副法线b方向没有分量；
速度矢量和加速度矢量都位于密切面内。
26
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走 过的弧长与时间的一 次方成正比。请判断 点的运动性质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
OA R, AB L, AP l, t 解：1、P点运动方程
yA O
P
B x
xp
R cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
2、P点的速度和加速度
v px
R
sin
l L
R2 sin cos L2 R2 sin2
v py
(L
l)
R L
cos
R sin l R2 sin cos L L2 R2 sin2
D
lim D d k 1
Ds0 Ds
ds
22
dτ ? ds
先看大小:
dτ 1
ds
P
P'
再看方向
d 垂直于 ；指向曲线凹向
d 处于 与 ’确定的极限平
面内 :密切面（P点）
当P´点无限接近于 P点时，
过这两点的切线所组成的平 面，称为P点的密切面。
点P附近无限小一段轨迹曲线可以看 作是位于密切面内的平面曲线。
方向：运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致。
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三、点的加速度
v
t 瞬时: 速度 v(t)
P
PD´ v
t＋Dt 瞬时:速度 v´ =v(t ＋Dt )
r r´ v´
v´ Dt 时间间隔内速度的改变量
Dv(t)＝ v (t ＋Dt )－ v(t)
O
点在 t 瞬时的加速度：
a lim Dv dv v Dt0 Dt dt
R2 l2
(L
1 l)2
yp2
l
1
(
L
1
l
)
213y
p
2
一、运动方程 二、点的速度
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
zP
v
rz a
k iO
j
y
x
xy
将矢径表示成
r xi yj zk v r xi yj zk
(xi yj zk)
(Oxyz)为静参考系
i j k 0
v xi yj zk vxi v y j vz k
问题： 若为平面曲线，密切面是哪个面？
平面曲线每一点的密切面 均为曲线所在的平面。 23
P n
dτ ? ds
P'
先看大小:
dτ 1