工程硕士研究生2014年《现代电力系统分析》复习提纲2014.6一、 简述节点导纳矩阵自导纳及互导纳的物理意义；试形成如图电路的节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵。

答：节点导纳的阶数等于网络的节点数，矩阵的对角元素即自导纳等于与该节点连接的所有支路的导纳之和，非对角元素即互导纳则为连接两点支路导纳的负值。

（李）在电力网络中，若仅对节点i 施加单位电压，网络的其它节点接地时，节点i 对网络的注入电流值称为节点i 的自导纳；此时其它节点j 向网络的注入电流值，称为节点j 对节点i 的互导纳。

节点导纳矩阵为：在电力网络中，若仅对节点i 施加单位电压，网络的其它节点接地即U =0时，节点i 对网络的注入电流值称为节点i 的自导纳；此时其它节点j 向网络的注入电流值，称为节点j 对节点i 的互导纳。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----++--=j j jk jk j jk jkj j j jj Y 1021001102111211100112；李⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=105.0001.111.1105.01.115.2100112j j j j j j j j j j Y 节点阻抗矩阵为：在电力网络中，若仅对节点i 施加单位电电流。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22222544244424452k k k k k k k j Z ；李⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22.2222.205.64.44.424.44424.445j j j j j j j j j j j j j j j j Z 二、 写出下图所示变压器电路的П型等效电路及物理意义。

1：k答：1、物理意义： ①无功补偿实现开降压；②串联谐振电路；③理想电路（r<0）。

2、П型等效电路：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20121212121022211211Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ，令U1=1时，点2接地U2=0 图一Y 10 Y 20Y 12可得1210Y Y y T += ，12Y k y T -=-，12102Y Y k y T += 得：)1(Y 10k k y T -= ，)1(Y 220kk y T -= ，k yT =12Y三、 按Ward 等值写出图二等值表示成内部节点的功率（网络）方程式。

解：将节点注入复功率、复电压向量及网络导纳矩阵，写成分块形式：[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===II IBBI BB BEEB EETI B ETI B EY Y Y Y Y Y Y Y V V V V S S S S节点的功率方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡******00I B E I B E II IB BI BB BE EB EE I B E S S S V V V Y Y Y Y Y Y Y V V V 式中左侧矩阵中*I *B *EV V V 均为对角阵。

消去外部系统后，变为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡*****I B B I B II IB BI Eq BB I R S S S Y Y Y Y Y Y Y V V 其中“*”表示共轭，并有 EB EE BE Eq Y Y Y Y 1--= E E EEBE B B S V Y Y V S *-*-*-=∆11*四、写出图三网络的快速求解路径图（全道路树）。

解：高斯消去法化简系统接线图内部网络I外部网络E边界节点B图二1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 * * * 2 * * * 3 * * * 4 * * * 5 * * * * X 6 * * * * X 7 * * * X * X X 8 * * * X * X X 9 * * X X * * X X 10 * * * * * X 11 * * X X X * * * 12 * * XXXXXX**节点网络示意图1—8—9—10—11—12 2—5—8—9—10—11—12 3—6—7—9—10—11—12 4—7—9—10—11—12画图时道路树的圆形为空心圆 道路树*表示愿导纳阵的非零元素，X 表示形成因子表后增加的非零元素3 4 1 2 5 876910 11 12五、 节点优化编号方法；熟悉静态及半动态的编号方法，如图：在编号之前，先统计电力网络各节点所连接的支路数，按从少到多的顺序编号就是静态优化法。

所连接的支路数相同的节点，可以按任意顺序编号。

考虑消去节点后其编号仍为最优的方法称为动态优化方法。

若节点编号不是一开始就全部编出，而是按最少节点支路数编为第一号后，即将此节点消去，再按新的节点支路数最少进行编号，再消去再编号，这样重复进行的方法称为半动态最优化方法。

六、 试解析快速解耦法是如何由牛顿法演变而成？答：牛顿法的修正方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V L M N H Q P （4-35）快速解耦法的原理（或称将极坐标牛顿法演变简化的要点）如下：（1）高压输电电力网络元件的电抗远大于电阻，因而各节点电压相角的改变主要与节点注入的有功功率有关，而电压值的变化主要受注入无功功率的影响。

因而可将式（4-35）雅可比系数矩阵的子矩阵N 和M 忽略。

修正方程式被简化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V L O O H Q P或写成 ⎩⎨⎧∆=∆∆Θ=∆)(V V L Q H P （4-36）由式（4-36）可见，简化后可将有功功率和无功功率分别进行求解。

（2）将式（4-36）中的系数矩阵H 和L 简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。

首先，考虑一般线路两端电压相角差较小，而且对高压线路R <<X ，故ij ij ij ij sin G cos B θ>>θ，忽略ij H 及ij L 表达式中含后面项，且1≈θij cos 因而式（4-2）中ij H 和ij L 的矩阵元素表达式变为()ij j i ij ij ij ij j i ij ij B V V B G V V L H =--==θθcos sin （4-37） （3）对系数矩阵中的对角线元素，有 静态优化法 456 (1.2.3)(1.2.3)(1.2.3)半动态优化法 (1.2.3) (1.2.3)(1.2.3) (4.5.6) (4.5.6)(4.5.6)⎭⎬⎫-=+=i ii i ii i ii i ii Q B V L Q B V H 22 （4-38） 按自导纳定义，上式中的ii i B V 2应为除节点i 外所有与节点i 相连的节点均接地时节点i 注入的无功功率。

如图4.9。

显然，这一注入无功功率比正常运行时节点i 的注入无功功率i Q 大得多，即ii i B V 2>>i Q ，因而可讲将式（4-38）中的i Q 略去，变为ii i ii ii B V L H 2== （4-39）jkmiQikQijQim图4.9经过这样的简化后，H 与L 矩阵都变成以相同的元素表达式的对称矩阵。

它可进一步化简为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 333323231313323222221212313121211111V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 321333231232221131211321V V V B B B B B B B B B V V V将它代入式（4-36）中并按矩阵运算规则将两个电压对角阵分别合并到功率不平衡量和修正向量中，可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆332211333231232221131211332211θθθV V V B B B B B B B B B V P V P V P （4-40）n -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆321333231232221131211332211V V V B B B B B B B B B V Q V Q V Q (4-41)n -r -1 或写成⎩⎨⎧∆''=∆∆Θ'=∆V B V Q V B V P )( (4-42)这样，不仅分离了有功功率和无功功率修正方程，而且修正方程的系数矩阵均为常系数对称矩阵。

这两个系数矩阵有相同的形式，即只含网络节点导纳矩阵的虚部。

但是由于系统存在着PV 节点，所以两个系数矩阵的阶数是不同的。

设系统共有n 个节点，其中PV 节点为r 个，则B '是n -1阶矩阵，而B ''为n -r -1阶矩阵。

七、若以极坐标表示牛顿法求解潮流为：已知：（1）功率方程式 ∑+-=∆)s i n c o s (ij ij ij ij j i is i B G V V P P θθ∑--=∆)cos sin (ij ij ij ij j i is i B G V V Q Q θθ（2）求解方程式为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V J Q P /θ试求以直角坐标表示的J 阵H ii ，H ij 的表示式。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=L M N HJ ∑+-=∂∆∂=)s i n c o s (H ii ij ij ij ij j i iiB G V V P θθθ ∑--=∂∆∂=)c o s s i n (H ij ij ij ij ij j i jiB G V V P θθθ 答：雅可比矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=L MN HJ ；修正变量变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=∆V V X θ 式中：H 为P ∆对电压相角的偏导数子阵，j iij P H θ∂∆∂=；M 为Q ∆对电压相角的偏导数子阵，j iij Q M θ∂∆∂=；N 为P ∆对电压值的偏导数与该节点电压值乘积的子阵，j jiij V V P N ∂∆∂=； L 为Q ∆对电压值的偏导数与该节点电压值乘积的子阵，j jiij V V Q L ∂∆∂=这样式（4-9）的修正方程变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆θ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V L M N HQ P （4-19） 考虑到电力系统的各类节点，若系统的总节点数为n 个，PV 节点为r 个，则求解方程式共有22--r n 个，雅可比矩阵为22--r n 阶，即式（4-19）展开为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆nn n n nnn n n nn n nn n n nn n n n n n n n n L L L M M M L L L M M M L L L M M M N N N H H H N N N H H H N N N H H H Q Q Q P P P2121222212222111211112112111222212222111211112112121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆⨯n n n V V V V V V 221121θθθ （4-20）n -1 n -r -1其中雅可比矩阵各元素的表达式为()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=--=∂∆∂=-=+=∂∆∂=+-=∂∆∂=--=∂∆∂=ij ij ij ij ij j i j j iij ij ij ij ij ij j i j iij ij ij ij ij j i j j iij ij ij ij ij j i ji ij H B G V V V V Q L N B G V V Q M B G V V V V P N B G V V P H θθθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos cos sin （4-21）()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫-=+--=∂∆∂=-=+-=∂∆∂=--=-+-=∂∆∂=+=-=∂∆∂=∑∑∑∑≠∈≠∈≠∈≠∈i ii i ii i i j ij ij ij ij ij j i i i iii iii i ij ij ij ij ij ij j i i iii i ii i ii i ij i j ij ij ij ij j i i i i ii iii i ij ij ij ij ij ij j i i iii Q B V B V B G V V V V Q L P G V B G V V Q M P G V G V B G V V V V P N Q B V B G V V P H 2222222cos sin sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθθθθθ （4-22）提纲是-J ，这里给的是J ，考试时参照题目决定是否加负号八、如图3－5六节点网络，若节点4－5间的支路为变压器支路且节点4为PQV 节点，试说明其潮流计算时的替代修正量及雅可比矩阵元素的变化。