深培中學「合24數學遊戲」研習課程(II)目錄I. 1 的活用方法………………………頁2II. 難題的速算策略………………………頁3 III. 難題的分數巧算法……………………頁5 IV. 單數的思考方法……………………頁9A.一個單數的思考方法………………頁10B.兩個單數的思考方法………………頁10C.三個單數的思考方法………………頁11V. 題解……………………………………頁13I. 1 的活用方法在1至13的數字中，1是最具靈活性的，也是運算過程中的潤滑劑。
因此在計算24點時，有1出現的組合相對容易解答。
例如：1 2 8 8 看成1 (8 ÷ 2 - 1) ⨯ 8 = 24看成“不作計算”(8 ⨯ 2 + 8) ⨯ 1 = 24看成1的例子： 1 2 4 7 (7 + 4 + 1) ⨯ 2 = 241 3 4 9 9 ⨯ 3 - (4 - 1) = 241 7 12 13 (13 + 1) ÷ 7 ⨯ 12 = 24看成“不作計算”的例子：1 5 8 8 (8 - 5) ⨯ 8 ⨯ 1 = 241 3 4 12 (12 - 4) ⨯3 ÷ 1 = 241 3 3 9 (9 ⨯ 3 - 3) ⨯ 1 = 24 有1出現的組合不但容易解答，而且往往是一題多解的例子：例如： 1 3 3 9 的算式還有(9 ⨯ 3 - 3) ÷ 1 = 249 ⨯ 3 - 3 ⨯ 1 = 249 ⨯ 3 - 3 ÷ 1 = 249 ⨯ 3 ⨯ 1 - 3 = 249 ⨯ 3 ÷ 1 - 3 = 24練習八：1. 1 2 3 4 = 242. 1 2 5 9 = 243. 1 2 2 7 = 244. 1 1 5 5 = 245. 1 7 7 9 = 246. 1 1 3 10 = 247. 1 5 10 12 = 248. 1 2 2 13 = 249. 1 9 10 13 = 2410. 1 5 7 11 (必須列出所有算式)= 24 = 24= 24 = 24= 24 = 24= 24 = 24= 24II. 難題的速算策略難題是指那些不能採用3 ⨯ 8、4 ⨯ 6、2 ⨯ 12及1 ⨯ 24的基本方法求解的組合。
因此，在計算難題時，第三步大多使用加法、減法或除法計算。
例如： 2 2 9 10 (9 - 2) ⨯ 2 + 10 = 24以上的難題出現時，可考慮固定10，然後將2、2、9三個數處理成14，再以14加10得24。
例如： 2 7 8 9 (7 + 9) ⨯ 2 - 8 = 24以上的難題出現時，可考慮固定8，然後將2、7、9三個數處理成32，再以32減8得24。
例如： 6 6 9 10 (9 - 6) ⨯ 10 - 6 = 24以上的難題出現時，可考慮固定6，然後將6、9、10三個數處理成30，再以30減6得24。
例如： 2 5 8 8 (5 ⨯ 8 + 8) ÷ 2 = 24以上的難題出現時，可考慮固定2，然後將5、8、8三個數處理成48，再以48除以2得24。
從以上的分析，要解難題先要有一個穩健的四則運算的基礎，現在讓我們先熟練以下的運算：加法：+ 1 = 24、+ 2 = 24、+ 3 = 24、+ 4 = 24、+ 5 = 24、+ 6 = 24、+ 7 = 24、+ 8 = 24、+ 9 = 24、+ 10 = 24、+ 11 = 24、+ 12 = 24、+ 13 = 24減法：- 1 = 24、- 2 = 24、- 3 = 24、- 4 = 24、- 5 = 24、- 6 = 24、- 7 = 24、- 8 = 24、- 9 = 24、- 10 = 24、- 11 = 24、- 12 = 24、- 13 = 24除法：÷ 2 = 24、÷ 3 = 24、÷ 4 = 24、÷ 5 = 24、÷ 6 = 24、÷ 7 = 24在難解題的式子中，又以使用除法計算第三步的組合的難度最高。
例如： 2 4 4 13 (13 ⨯ 4 - 4) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 243 8 8 10 (10 ⨯ 8 - 8) ÷ 3 = 72 ÷ 3 = 244 7 12 12 (12 ⨯ 7 + 12) ÷ 4 = 96 ÷ 4 = 241 5 11 11 (11 ⨯ 11 - 1) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = 246 11 12 12 (12 ⨯ 11 +12) ÷ 6= 144 ÷ 6 = 241 7 13 13 (13 ⨯ 13 - 1) ÷ 7 = 168 ÷ 7 = 24練習九：1. 2 5 6 9 = 242. 1 5 7 10 = 243. 5 7 7 10 = 244. 4 7 9 11 = 245. 8 9 11 11 = 246. 1 2 7 7 = 247. 5 7 9 10 = 248. 6 7 7 11 = 249. 5 10 10 11= 2410. 4 4 10 10= 24III. 難題的分數巧算法有些難題不能用整數的方法處理時，就必須考慮使用分數巧算法。
這類題目難度很高，需要動一番腦筋才行。
第一種分數巧算法： 第三步成為 8 ÷31 = 24 或 3 ÷ 81= 24。
例如：8 1 2 38 ÷ (1 - 2 ÷ 3) = 24以上的難題出現時，因為有8就可考慮將1、2、3三個數處理成31，再以8 ÷ 31 = 24。
其他可用 8 ÷ 31的例子如下： 8 1 4 68 ÷ (1 - 4 ÷ 6) = 24 8 1 6 9 8 ÷ (1 - 6 ÷ 9) = 24 8 1 8 12 8 ÷ (1 - 8 ÷ 12) = 248 2 3 58 ÷ (2 - 5 ÷ 3) = 248 3 3 8 8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24 8 3 4 11 8 ÷ (4 - 11 ÷ 3) = 24 8 1 3 4 8 ÷ (4 ÷ 3 - 1) = 248 1 6 8 8 ÷ (8 ÷ 6 - 1) = 24 8 1 9 12 8 ÷ (12 ÷ 9 - 1) = 248 2 3 7 8 ÷ (7 ÷ 3 - 2) = 24 8 3 3 10 8 ÷ (10 ÷ 3 - 3) = 248 3 4 138 ÷ (13 ÷ 3 - 4) = 24可用 3 ÷ 81= 24 的例子如下： 例如：3 1 7 8 3 ÷ (1 - 7 ÷ 8) = 243 1 8 93 ÷ (9 ÷ 8 - 1) = 24第二種分數巧算法： 第三步成為 6 ÷ 41 = 24 或 4 ÷ 61= 24。
例如：6 1 3 4 6 ÷ (1 - 3 ÷ 4) = 24以上的難題出現時，因為有6就可考慮將1、3、4三個數處理成41，再以6 ÷ 41= 24。
其他可用6 ÷41的例子如下： 6 1 6 86 ÷ (1 - 6 ÷ 8) = 24 6 1 9 12 6 ÷ (1 - 9 ÷ 12) = 246 2 47 6 ÷ (2 - 7 ÷ 4) = 24 6 3 4 11 6 ÷ (3 - 11 ÷ 4) = 24 6 1 4 5 6 ÷ (5 ÷ 4 - 1) = 24 6 18 10 6 ÷ (10 ÷ 8 - 1) = 24 6 2 49 6 ÷ (9 ÷ 4 - 2) = 246 3 4 136 ÷ (13 ÷ 4 - 3) = 24可用4 ÷ 61= 24 的例子如下： 例如：4 156 4 ÷ (1 - 5 ÷ 6) = 24 4 1 10 12 4 ÷ (1 - 10 ÷ 12) = 24 4 2 6 11 4 ÷ (2 - 11 ÷ 6) = 244 1 6 7 4 ÷ (7 ÷ 6 - 1) = 244 2 6 134 ÷ (13 ÷ 6 - 2) = 24第三種分數巧算法： 第三步成為12 ÷21或2 ÷ 121。
例如：12 1 1 212 ÷ (1 - 1 ÷ 2) = 24以上的難題出現時，因為有12就可考慮將1、1、2三個數處理成21，再以12 ÷ 21= 24。
其他可用12 ÷21的例子如下：12 1 2 4 12 ÷ (1 - 2 ÷ 4) = 2412 1 3 6 12 ÷ (1 - 3 ÷ 6) = 2412 1 4 8 12 ÷ (1 - 4 ÷ 8) = 24 12 1 5 10 12 ÷ (1 - 5 ÷ 10) = 2412 1 6 12 12 ÷ (1 - 6 ÷ 12) = 2412 2 2 3 12 ÷ (2 - 3 ÷ 2) = 24 12 2 4 6 12 ÷ (2 - 6 ÷ 4) = 24 12 2 6 9 12 ÷ (2 - 9 ÷ 6) = 24 12 2 8 12 12 ÷ (2 - 12 ÷ 8) = 24 12 2 3 5 12 ÷ (3 - 5 ÷ 2) = 24 12 3 4 10 12 ÷ (3 - 10 ÷ 4) = 24 12 2 4 7 12 ÷ (4 - 7 ÷ 2) = 24 12 2 5 9 12 ÷ (5 - 9 ÷ 2) = 2412 2 6 1112 ÷ (6 - 11 ÷ 2) = 2412 2 7 13 12 ÷ (7 - 13 ÷ 2) = 24 12 1 2 3 12 ÷ (3 ÷ 2 - 1) = 24 12 1 4 6 12 ÷ (6 ÷ 4 - 1) = 24 12 1 6 9 12 ÷ (9 ÷ 6 - 1) = 24 12 1 8 12 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) = 24 12 2 2 5 12 ÷ (5 ÷ 2 - 2) = 24 12 2 4 10 12 ÷ (10 ÷ 4 - 2) = 24 12 2 3 7 12 ÷ (7 ÷ 2 - 3) = 24 12 2 4 9 12 ÷ (9 ÷ 2 - 4) = 24 12 2 5 11 12 ÷ (11 ÷ 2 - 5) = 24 12 2 6 1312 ÷ (13 ÷ 2 - 6) = 24可用2 ÷ 121= 24 的例子如下：例如：2 1 11 12 2 ÷ (1 - 11 ÷ 12) = 242 1 12 132 ÷ (13 ÷ 12 - 1) = 24除了以上的分數式可計算出數24外，還有以下的分數式可用： 5 ⨯ 524、 7 ⨯ 724、 11 ⨯ 1124、 13 ⨯ 13249 ⨯38、 9 ÷ 83、 9 ⨯ 616、 9 ⨯ 924、 10 ⨯ 512、 10 ÷ 125、 10 ⨯ 1024、例如： 1 5 5 5 5 ⨯ (5 - 1 ÷ 5) = 24 4 9 9 12 9 ⨯ (4 - 12 ÷ 9) = 24 1 7 10 12 10 ÷ (1 - 7 ÷ 12) = 24 2 4 10 10 10 ⨯ (2 + 4 ÷ 10) = 24 1 11 13 13 13 ⨯ (1 + 11 ÷ 13) = 242 2 13 1313 ⨯ (2 - 2 ÷ 13) = 24練習十：(以下題目必須用分數式作答)1. 1 4 6 7 = 242. 3 3 8 8 = 243. 2 4 6 9 = 244. 1 5 7 10 = 245. 1 8 9 11 = 246. 2 5 11 12 = 247. 1 2 12 13 = 248. 1 3 6 12 = 249. 2 8 9 13 = 2410. 2 6 12 13 = 24IV. 單數的思考方法有些同學在計算24點時害怕單數的出現，特別怕碰到單數多及單數大的情況。