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高考数学一轮专题复习 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性课件


f(8)的值为( B )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:由 f(x+4)=f(1x),则 T=8,f(8)=f(0)=0.
4.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那
么 a+b 的值是( B )
A.-13
B.13
C.12
D.-12
解析:∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, ∴a-1+2a=0,∴a=13.又 f(-x)=f(x),
∴b=0,∴a+b=13.
考点一 函数的周期性 考点二 判定函数的奇偶性 考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
考点一 函数的周期性
(1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+
1)=f(1x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[2,
3]上是( A ) A.增函数 C.先增后减的函数
1.辨明三个易误点 (1)应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内. (2)判断函数的奇偶性,易忽视函数定义域是否关于原点对称. 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(3)判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均 有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0),对于 偶函数的判断以此类推.
1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式.
解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
∴f249+f461=12-136=156.
若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”,其他 条件不变,结果如何?
解:∵f249=f-43=f34=136, f461=f-67=f76=sin 76π=-12, ∴f249+f461=-156.
[规律方法] 函数周期性的判定 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函 数是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其 他性质综合命题,是高考考查的重点问题.
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考点二 判定函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-1x; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2;
x2+2(x>0)
(3)f(x)=0(x=0)

-x2-2(x<0)
[解] (1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 并且对于定义域内的任意一个 x 都有
f(-x)=(-x)3--1x=-(x3-1x)=-f(x), 从而函数 f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)∵f(x)是以 4 为周期的奇函数 ,∴f249=f8-34=
f-34,f461=f8-76=f-76.
∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),∴f34=34×1-34=136.∵
当 1<x≤2 时,f(x)=sinπx,
∴f76=sin7π6 =-12.又∵f(x)是奇函数, ∴f-43=-f34=-136,f-67=-f76=12.
2.活用周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)=f(1x),则 T=2a;
(3)若 f(x+a)=-f(1x),则 T=2a.
[做一做]
3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(1x),则
D.f(x)=2x+2-x
2.(2014·高考四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函
数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=- x,4x0≤2+x2<,1,-1≤x<0,则 f32
=__1______.
解析:函数的周期是 2,所以 f32=f32-2=f-12,根据
题意 f-12=-4×-212+2=1.
(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个___最___小____的正数,那么这个____最__小____正数就叫做 f(x) 的最小正周期.
[做一做]
1.(2014·高考重庆卷)下列函数为偶函数的是( D )
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第4讲 函数的奇偶性及周期性
1.函数的奇偶性 奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x,都有___f(_-__x_)_=__f(_x_)___,那么函
数f(x)是偶函数
关于_y_轴__ 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x,都有___f(_-__x_)_=__-__f(_x_)_,那么函
B.减函数 D.先减后增的函数
(2)(2014·高考安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)=xsi(n 1π-xx,)1,<x0≤≤2x,≤1, 5
则 f249+f461=___1_6____.
[解析] (1)由题意知 f(x+2)=f(x+1 1)=f(x),所以 f(x) 的周期为 2,又函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x) 在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[0,1]上是增函数,所以 f(x) 在[2,3]上是增函数.
数f(x)是奇函数
关于_原__点_ 对称
2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T, 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 任 何 值 时 , 都 有 f(x + T) = ___f_(x_)_____,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这 个函数的周期.
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