关键词：最小二乘法拟合加权平均 收支平衡 曲线拟合 替代率
1问题重述
1.1问题背景
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
表2国家5年规划期间GDP预测
国家规划
国家预测GDP增长率
十二五(2011-2015）
8.20%
十三五(2016-2020）
7.10%
十四五(2021-2025）
5.20%
十五五(2026-2030）
5.50%
十六五(2030-2035）
4.10%
根据表2中的数据我们判断国家GDP到2035年一直会持续增长，也就是说近期不会达到 阻滞增长模型中的最大值，在这里用阻滞增长模型反而有些麻烦，因此不采取阻滞增长模型。
3假设条件
1）职工个人账户存储额的年利率统一为30%；
2）在未来所测年限中我国经济会稳定发展，不会出现经济危机等阻碍经济的状况；
3）假设男女职工退休年龄标准一致；
4）假设该企业各年龄段人员分布平均；
5）假设该企业各年龄段职工人数保持不变；
6）基金收益率8%和缴费率20%都是维系收支平衡的最佳点。
4符号说明
问题四为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期内保持收支平衡，并要达到目标替代率，结合我国国情实际，从就业年龄，退休年龄，养老金替代率，工资增长率等影响养老保险基金收支平衡的各相关变量作了定量和定性分析讨论，得到了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取以下措施：
71430
2027
75000
2028
78750
2029
82690
2030
86820
2031
91160
2032
95720
2033
100510
2034
105530
2035
110810
5.2问题二
5.2.1数据处理
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
该企业平均工资：
综上情况得各年龄段职工工资与该企业平均工资之比见表5：
为了观察工资走势，用Matlab编程软件画出1978年到2010年山东省人均工资的走势如图2：
根据国家统计局下发的《中华人民共和国和社会发展规划》中的GDP增长率预测值（表2）计算得到2011-2035年的每年的GDP值如表3：
表3 2011年到2035年人均GDP预测值
年份
人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
2011
31235.4
2020
48456.36
2029
75171.7
2012
32797.17
2021
50879.1
2030
78930.30
2013
34437.03
2022
53423.1
2031
82876.82
2014
36158.88
2023
56094.29
2032
87020.66
2015
表1 中国历年（1978-2010）人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
1978
381
1989
1,519
2000
7,858
1979
419
1990
1,644
2001
8,622
1980
463
1991
1,893
2002
9,398
1981
492
1992
2,311
2003
10,542
1982
528
（3）缩短养老金替代率降低时间，在假定其他因素不变的情况下，可以保证基金在2050年之前不出现赤字，可更好的维系养老金收支平衡，并达到养老金目标替代率。
（4）降低工资增长率,工资增长率对职工领取的保险费额的影响幅度远远超过对其所缴纳的保险费额的影响幅度，从而使E与F的正差额变小，即使积累或结余变少。因此，降低工资增长率可以缓解养老金支付负担,维持收支平衡。
在问题一中首先采用国家统计局发布的GDP增长率对2011-2035年GDP进行预测，然后根据已知的GDP和平均工资对二者关系进行拟合得到关系式，最后根据GDP的预测值计算出平均工资的预测值。
对于题二计算出各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再使用加权平均得出缴费指数参考值。
针对问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。
企业退休职工养老金研究
摘要
本文针对我国企业退休职工养老保险基金收支平衡的问题，根据2005年颁发的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》，建立养老保险基金收支平衡模型，即缴存的养老保险金E与得到的养老保险金F保持一致；和对养老金替代率讨论模型 。分析了在该政策背景下，当已知基金收益率和缴费率时，各个因素对基金收支平衡的影响。
现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
2问题分析
过去30年我国经济发展迅速，而发达国家已处于平稳状态，可以预测的是在未来些许年中我国经济还会迅速发展，当达到发达国家水平时经济会处于一个稳定状态，此时GDP增长率会变慢。而工资的增长与经济增长相关。
问题一需要判断工资和GDP存在某种函数关系。所以对于此问题应该先根据相关资料对GDP进行预测，然后把GDP和工资进行拟合，得出函数关系。最终得到工资的预测值。
表5各年龄段职工工资与该企业平均工资之比
年龄段
月平均工资
企业月平均工资
各年龄段平均工资之比
20-24岁职工数
1715.4
2580.2
0.6648
25-29岁职工数
2077
0.805
30-34岁职工数
2535.1
0.9825
35-39岁职工数
2752.2
1.0667
40-44岁职工数
3026
1.1728
45-49岁职工数
3268
1.2666
50-54岁职工数
3118.5
1.2086
55-59岁职工数
2980.2
1.155
60-64岁职工数
2541.4
0.985
65-69岁职工数
2046.1
0.793
把这些比值看作职工缴费指数的参考值, 该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）。
令 等于第 年人均工资， 等于第 年平均GDP，由图3我们设其关系为：
用最小二乘法确定 , 的值：
用Lingo软件编程求得：
因此平均工资与平均GDP的关系为：
根据上式和表3内容对2011年-2035年山东省年均工资预测如下表4：
表4 2011-2035年山东平均工资预测
年份
平均工资
年份
平均工资
年份
平均工资
37966.8
2024
58899.01
2033
91371.69
2016
39865.17
2025
61843.96
2034
95940.27
2017
41858.42
2026
64936.15
2035
100737.3
2018
43951.34
2027
68182.96
-----
-----
2019
46148.91
2028
第 种情况企业职工领取的养老金
第 种情况下出现的缺口
为人均寿命
表示第 年份 岁在职职工的人数
其缴存的养老保险金
其退休后第一个月领取的养老保险金
职工领取养老金的年数；
养老保险费的收入
基本养老金的支出
5模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型准备
因为工资的增长和国家经济增长相关，因此我们先查询国家统计局发布的中国历年人均GDP如表1：
问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
职工退休时的养老金由两部分组成：
养老金（A）=基础养老金（B）+个人账户养老金（D)