1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
年 1625 1830 1930 10 20 1960 30 1974 40 1987 1999 50 60
* 0
为两个平衡点．
现在考虑最大捕捞量问题．
N )N 设 h1 ( N ) r (1 Nm
h2 ( N ) kN 则 dN h1 ( N ) h2 ( N )
dt
将抛物线 h1 ( N ) 与直线 h2 ( N ) 描在同一坐标系内．当
h1 ( N ) = h2 ( N ) 时种群数量N达到最大值．
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
1、建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物 学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在 经济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t dw 的表达式． 上的增量表达式，令△t →0，即得到 dt 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：
dx 2x 2x 0.03 dx 0.03dt dt dt 100 t 100 t
2x dx 0.03， 100 t dt x (0) 10 ,
9 104 x(t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2
x(t ) 9 104 p(t ) 0.01 100 t (100 t ) 3
讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟， K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问： （1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于 0.08%? （2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？
冷却问题
问题的提出：一碗放在房间桌面上的热汤， 它的温度会怎样变化呢？我们知道汤会冷却，但 作为时间的函数时，一般的温度曲线是什么样子 的呢？ 模型假设：（1）设汤的摄氏度T是关于时间t的可微函 数，适当选择t的单位，在t=0时开始测量；（2）假设 环境介质体积足够大以至于汤的热量对环境温度几乎 没有影响；（3）设环境温度为Tm。
这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。
图：
N
Nm
N0
0
t
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
t T Kx( s)ds V [ x(t t ) x(t )] ( Km r )t t x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, dt x ( 0) x 0 t0
Km r K a ,b 其中， 解为 V V a a bt x(t ) ( x0 )e b b
车间空气的清 洁
分析和建模
设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气 含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间 [t , t t ] 并利用质量守恒定律： [t , t t ] 内车间空气含CO2量的“增加”等于 [t , t t ] 时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加 上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量。 用数学公式表示出来就是
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)． 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天 其中： 净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／天) 净输出量／天＝69(焦／公斤· 天)×W／(公斤) ＝69W(焦／天) dw w 3、体重的变化／天＝ t (公斤／天) t 0 dt
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。 在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量： 其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
模型：
适用范围： 气体、液体、固体
溶液混合问题
例: 设一容器内原有100L盐水,内含 有盐10kg,现以3L/min的速度注入 质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时 以2L/min的速度抽出混合均匀的盐 水,求容器内盐量变化的数学模型.
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95 人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
x(2000 ) 274.5
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
捕鱼问题
渔场（鱼池）养鱼，一般是要求池中鱼数量稳定的前 提下，达到最大捕获量或最优的经济效益． 设在有捕捞的情况下， 时刻渔场中的鱼量为 N (t ) ，
渔场饱和数量为 N m ； 再设没有资源限制下鱼群个体的平均增长率为
Km r x0 ( Km r ) V t e K K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常 Km r x 0 否则含CO 的量只会增加。 2 K
令t
得
Km r lim x(t ) % t K
这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到
Km r % K
兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
一般模型
模型 假设
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力
• 每方非战斗减员率与本方兵力成正比
• 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
盐量和时间t的关系 溶液浓度和t的关系
问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台 机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清 洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量 为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来 降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新鲜空气能 与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间。 又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过 t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间 空气中CO2的百分比降到多少？
认识人口数量的变化规律，建立人口模型， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前 提，下面介绍两个最基本的人口模型。
2. 模型1 (Malthus模型) 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的 人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中， 净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率） 是常数。
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于
微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数 学陈述，应将这些给定的条件和微1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／ 天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／ 公斤.天乘以他的体重 (公斤)．假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律．
这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的 人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它 与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的 差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代 的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法 国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。
2.5 模型修改
分析表明，以上这些现象的主要原因是随着 人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口 增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口 的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一 定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而 减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长 率是常数的基本假设进行修改。
单位匹配
建立表达式
3、 一个考古问题
（1）问题分析与模型的建立
1、
（2）解
（3）一个事实
（1）问题分析
（2）模型建立
1、要注意体积：
2、模型：
3、解： 4、流完的时间：