2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析第一部分一、选择题 1．【答案】A【解析】由集合交集的定义可得{}=|21A B x x -<<-I ，故选A . 【考点】集合的交运算 2．【答案】B【解析】因为(1i)(i)1(1)i z a a a =-+=++-，所以它在复平面内对应的点为(1,1)a a +-，又此点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，，解得1a <-，故选B ．【考点】复数的乘法及几何意义 3．【答案】C【解析】运行该程序，0,1,3;k s k ==<11011,2,3;1k s k +=+===< 213112,,3;22k s k +=+===< 3152123,,3332k s k +=+====. 输出的s 值为53.故选C ． 【考点】程序框图 4．【答案】D【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点(1,1),33,31A B C -（，）（，）为顶点的三角形及其内部.当直线：2z x y =+ 经过点B 时，2x y + 取得最大值，所以max 3239z =+⨯=，故选D. 【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值 5．【答案】A 【解析】因为1()3()3x xf x =-，且定义域为R，所以111()3()=()3[3()]()333x x x x x x f x f x ---=--=--=-，即函数()f x 是奇函数.又3xy =在R 上是增函数，1()3x y =在R 上是减函数，所以1()3()3x x f x =-在R 上是增函数.故选A.【考点】函数的奇偶性与单调性 6．【答案】A【解析】因为m ，n 是非零向量，所以cos ,0m n m n m n =<g g 的充要条件是cos ,0m n <.因为0λ<，则由m n λ=可知m ，n 的方向相反，,180m n =︒，所以cos ,0m n <，所以“存在负数λ，使得m n λ=” 可推得“0m n <g ”；而由“0m n <g ”，可推得“cos ,0m n <”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m n λ=”.综上所述，“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <g ”的充分而不必要条件，故选A. 【考点】充分必要条件与平面向量 7．【答案】B【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A-BCC 1B 1，从图中易得最长的棱为1AC === B.【考点】几何体的三视图 8．【答案】D 【解析】因为361lg3361lg33610.48173=⨯≈⨯≈，所以17310M ≈，则1739380101010M N ≈=，故选D ． 【考点】指数与对数的运算第二部分二．填空题 9．【答案】2【解析】由双曲线的标准方程可知21a =，2b m =，所以1a =，c =，所以1=2m =.【考点】考查双曲线的标准方程与离心率. 10．【答案】1【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则4138a d =-+=，解得343;18d b q ==-=g ，解得2q =-.所以22132,1(2)2a b =-+==-⨯-=，所以221a b =. 【考点】等差数列与等比数列的通项公式 11．【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为222440x x y +--+=y ，即22121x y -+-=（）（），圆心为（1，2），半径1r =.因为点10P （，） 到圆心的距离21d ==>，所以点P 在圆外，所以AP 的最小值为211d r -=-=.【考点】圆的极坐标方程，点与圆的位置关系12．【答案】79-【解析】解法一 因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，k Z ∈，所以2217cos()cos(22)cos 2(12sin )12()39k αβππααα⎡⎤-=+-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.解法二 因为1sin =03α> ，所以角α 为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点()，则cos 3α=，又()关于y 轴对称的点()-在角β 的终边上，所以1sin ,cos 33ββ==- 此时()117cos cos cos sin sin 33339αβαβαβ⎛-=+=-+⨯=- ⎝⎭ .当角α 为第二象限时，可取其终边上一点()-，则cos 3α=-，因为()-关于y 轴对称的点()在角β 的终边上，所以1sin ,cos 3ββ== ，此时()117cos cos cos sin sin 33339αβαβαβ⎛-=+=-⨯+⨯=- ⎝⎭ .综上可得，()7cos 9αβ-=- .【考点】三角函数的概念、两角差的三角函数公式 13．【答案】1,2,3---（答案不唯一）【解析】因为“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设存在实数,,a b c .若a b c >>，则a b c +≤”是真命题.由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <.因此,,a b c 依次可取整数1,2,3---，满足a b c +≤. 【考点】全称命题的真假与不等式的性质 14．【答案】1Q2P【解析】①i Q 为i A 与i B 的纵坐标之和，123i =，，，作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以123Q Q Q ,,中最大的是1Q .②(1,2,3)i i i i i A B p i A B +==+的纵坐标的纵坐标的横坐标的横坐标分别作123,,B B B 关于原点的对称点123',','B B B ，比较直线'''112233,,A B A B A B 的斜率，可得直线'22A B 的斜率最大，所以123,,p p p 中最大的是2p .【考点】散点图 三、解答题15.【答案】（1）在△ABC 中，因为∠A=60°，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sinC 7c A a === （2）因为7a =，所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积11sinA 83222S bc ==⨯⨯⨯= 【考点】正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式 16.【答案】（1）如图，设AC ，BD 的交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB=ME ，所以PD ∥ME . 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点.所以M 为PB 的中点.（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为P A=PD ，所以OP ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .如图建立空间直角坐标系O-xyz，则00P （，200D （，，），240B -（，，），4 4.0,BD PD =-=u u u r（，）.设平面BDP 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BD n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u ur g即440,20.x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，则1,y z ==于是n =.平面P AD 的法向量为(0,1,0)p =. 所以1cos ,2n p n p n p ⋅==. 由题知二面角B-PD-A 为锐角，所以它的大小为3π. （3）由题意知(1,2,(2,4,0),(3,2,22M C MC -=-u u u u r . 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin cos ,=n MC n MC n MCα==u u u u rg u u u u r u u u u r . 所以直线MC 与平面BDP所成角的正弦值为9. 【考点】空间中直线、平面的位置关系以及二面角、线面角17.【答案】（1）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （2）由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.21122222222444121(0),(1),(2)636C C C C P P P C C C ξξξ=========.所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=.（3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【考点】散点图，随机事件的概率，随机变量的分布列、数学期望 18.【答案】（1）由抛物线2:2C y px =过点11P （，），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x =-. （2）由题意，设直线l 的方程为1(0)2y kx k =+≠，l 与抛物线C 的交点为1122(,),(,)M x y N x y . 由21,2y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得224(44)10k x k x +-+=. 则12122211,4k x x x x k k -+==. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为12(,)x x . 直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(x ,)y xx . 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-= 12211221221222211(k )()2221(22)()211(2k 2)420,x x kx x x x x k x x x x x k k k x +++-=-++=--⨯+==所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点。

【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系19.【答案】（1）因为()cos x f x e x x =-，所以'()(cos sin )1xf x e x x =--，'(0)0f =. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()(cos sin )1xh x e x x =--，则'()(cos sin sin cos )2sin xxh x e x x x x e x =---=-. 当(0,)2x ∈π时，'()0h x <，所以()h x 在区间0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减.所以对任意(0,]2x ∈π有()()00h x h <= ，即()0f x '< . 所以函数()f x 在区间0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减.因此()f x 在区间0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为(0)1f =，最小值为()22f =-ππ.【考点】函数、导数的几何意义以及导数在求解最值中的应用20.【答案】（1）{}{}{}111211223112233110,max 2,2max 121,3221,max 3,3,b 3max{131,332,533} 2.c b a c b a b a c b a b a a =-=-==--=-⨯-⨯=-=---=-⨯-⨯-⨯=-当3n ≥时，1111()()()()20,k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<所以k k b na -关于k ∈+N 单调递减.所以{}112211max ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n n =--⋅⋅⋅-=-=-. 所以对任意1,1n n c n =-≥，于是11n n c c +-=- 所以n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则[]12111121(1)(1)()(1).k k b na b k d a k d nb a n d nd k -=+--+-=-+--所以1121211121(1)(),,,.n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时当时①当10d >时， 取正整数21d m d >,则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,c ,,m m m c c ++L 是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，{}{}1121121(n 1)max ,0(n 1)(max ,0a ).n c b a n d b a d =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c L L 是等差数列. ③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112111212(1)(d nd )(d )d (d )d .n c b a n n n nb d n a d nn a d b d -+--=-=-+-++-+-+--≥对任意正数M ，取正整数12112211max ,M b d a d d d m d d ⎧+-+--⎫>⎨⎬-⎩⎭,故当n m ≥时，nc M n>. 【考点】新定义数列、等差数列的定义及通项公式、不等式。