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《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题三答案《概率论与数理统计》习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表: 0 12 31 0131113C 2228⨯⨯=23111C 3/8222⨯⨯= 03 180 011112228⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表: 0 1 23 0 0 0223247C C 3C 35= 313247C C 2C 35= 1 0 11232247C C C 6C 35= 21132247C C C 12C 35=313247C C 2C 35=2P (0黑,2红,2白)=12132247C C C 6C 35=223247C C 3C 35=XY X Y2242271C C /C 35=3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率.【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}.【解】(1) 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12(2) 由定义,有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰ 5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ; (2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故18R =(2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=⎰⎰⎰⎰如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他.(2)5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)d X fx f x y y+∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度.【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx(1) 试确定常数c ; (2) 求边缘概率密度. 【解】(1) (,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=⎰522217d ,01,420,0, .y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).题11图【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表 3 4 5{}i P X x =YX1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 (1)求关于X 和关于Y 的边缘分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1)X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.XYX Y14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率. 【解】(1) 因1,01,()0,Xx fx <<⎧==⎨⎩其他;21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ∆=-≥故X 2≥Y ,从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时,()0ZF z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-=⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202),从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ==17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数, 所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n kP X i P Y k i n n p q p q i k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则X =μ1+μ2+…+μn,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布.19.设随机变量(X ,Y )的分布律为0 1 2X Y3 4 5 0 1 2 30 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P {X =2|Y =2},P {Y =3|X =0}; (2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; (4) 求W =X +Y 的分布律.【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑(2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =ma x(X ,Y ) 0 12345P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程,有W =X +Y 0 12345678P0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 63 94 9 2 520.雷达的圆形屏幕半径为R ,设目标出现点(X ,Y )在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P {Y >0|Y >X }; (2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他(1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰ π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r r R r r R θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24==(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰(X ,Y )的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p i x 1 x 2 1/81/8P {Y =y j }=p j 1/61【解】因21{}{,}jjiji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立,故{}{}{,}ijiiP X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===Y X又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故1y 2y 3y {}i iP X x P ==1x 124 18 112 14 2x18 38 14 34{}j jP Y y p ==161213123.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布.YX【解】(1){|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2){,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!mmn mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此,得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ,Y 相互独立,所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为-1 01-1 0 1a 00.20.1 b0.20 0.1c其中a ,b ,c 为常数,且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5,记Z =X +Y .求: (1) a ,b ,c 的值;XY(2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由()0.2E X =-,可得0.1a c -+=-.再由{0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得0.3a b +=.解以上关于a ,b ,c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为-2,-1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====,即Z 的概率分布为Z -2 -1 01 2P 0.2 0.1 0.30.3 0.1(3)====++=++=. {}{0}0.10.20.10.10.20.4 P X Z P Y b。

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