A 1即模为1的矢量 ——单位矢量 A 0即模为0的矢量 —— 零矢量
零矢量的方向可以认为是任意的，记 作0 。
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数学知识：矢量
A
与矢量 A 同方向的单位矢量记作 e 。 在直角坐标系O-xyx中，记x、y、z三个 方向的单位矢量为 i 、j 、k 。 z 矢量具有大小与方向两个 y 要素，只有当同类的两个矢 x 量大小相等且方向相同时， 两个矢量才相等。记为 A B 。而标量 和矢量由于不同类，故不能相比较，也 不能相加减。
Ax Bx i i Ax By i j Ax Bz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k Az Bx k i Az By k j Az Bz k k
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
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§0.1 矢量 物理学中常会遇到两类不同性质的物 理量：标量（Scalar）和矢量（Vector）。 其中只用数值即可表示的量叫标量， 这里数值的含义包括大小和正负。 比如时间、路程、质量、能量、电量 等就是这样的量。
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而既有大小、正负，还有方向，且其 加法遵从平行四边形法则或三角形法则 的量叫做矢量。 力、速度、加速度、电场强度等都是 这样的量。矢量可以用有方向的几何线 段表示。
( ) A A A
满足交换律
( A) ( A) ( A)
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那么，如果用 eA 表示与 A 同方向的单位 矢量，则 A 可表示为
A AeA
r 5i r 3 j r 2k
§0.4 矢量的正交分解
B Bx i By j Bz k
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则 A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
§0.5
矢量的标积和矢积
矢量除了数乘之外，还有标积和矢积两种 相乘方式。 （1）矢量的标积（点积） 我们定义矢量 A 和 B 的标积为 A• B 标积的结果是一个标量，等于 A 和 B 的模与 夹角余弦的乘积。即有
矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计 算，即若
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
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则可得
A • B ( Ax i Ay j Az k ) • ( Bx i B y j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
（2）矢量的矢积（叉积） 矢量 A 和 B 的矢积为一矢量，记作
A B C
C 的大小为 C AB sin
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(0 )
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其中 为 A 与 B 的夹角，而 C 的方向按右 手螺旋法则确定。 z
C
A

B
x
y
即右手四指按小于 的方向从 A 转向 B 时， 伸直的拇指所指的方向即为 C 的方向。矢积 用“ ×”表示，故通常又叫叉乘，也读作 叉乘。
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N
C
B
A
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矢量的加法满足交换律和结合律，即有
A B B A ( A B) C A ( B C )
（2）矢量减法(Vector Subtraction)
如果矢量 A 和 B 的和为 C ，即 A B C ， 则 B 可称作 C 与 A 的矢量差。记作
即标积等于对应分量相乘积的和。
而在任何坐标系中，总有
A• A A
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矢量的标积满足交换律，分配律和结合律。 即有
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A B B A
(交换律)
( A B) C A C B C (分配律)
( A B) ( A) B A ( B) (结合律)
BCA
矢量的减法是加法的逆运算。
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由于 A 与 A 的方向相反，故有
B C A C ( A)
即矢量的减法可转换成加法来进行计算。
A
B
C A
B
即 B 等于从 A 的矢端指向 C 的矢端的矢量。 故在三角形法则中，从减矢量矢端指向被 减矢量矢端的矢量，即为这两个矢量之差。
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i j k
Ax Ay Az Bx By Bz
而混和积
A ( B C ) Ax ( By Cz Bz C y ) Ay ( Bz Cx BxCz ) Az ( BxC y By Cx )
Ax Ay Az Bx By Bz Cx C y Cz
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A ( B C )在数值上等于以 A 、 B、 C 三矢量
为棱的平行六面体的体积。并且我们还有 7. A ( B C ) B (C A) C ( A B) 8. A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 9. A ( B C ) A (C B)
i j k jk i k i j
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（分配律）
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j i k k j i i k j
用正交分解式计算时有
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
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安培定律 意义
dF Idl B
dF I d lB sin
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磁场对电流元作用的力的大小为
Idl B 同向 。
的方向垂直于 Idl d F
和 B 所组成的平面, 且与
有限长载流导线所受的 安培力
Idl
dF
如果矢量 A 和 B 相加，和为 C ，记为
A B C
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C 与 A 的夹角 设矢量 A 、B 的夹角为 ， 为 。 则 C 的大小为
C A B 2 AB cos
2 2
B sin 夹角 为 arctan A B cos
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据此，将一个矢量平移后，其大小和 方向都保持不变，所以平移后的矢量与 原矢量相等，仍是原矢量 。那么，在考 察矢量之间的关系或对它们进行运算时， 根据需要可对他们进行平移。
A
A
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§0.2 矢量的加减法
（1）矢量加法(Vector Addition) 矢量的加减法遵从平行四边形法则或三角 形法则。
(C B) A ( B C ) A
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§0.6
矢量的导数
（1）矢量函数 在物理学中有许多矢量是随时间或空间位 置的变化而变化的，包括大小和方向都可能 发生变化，如速度、力、电场强度等都是这 样。 如果对于标量变量 t 的每一个值，都相应 的存在变矢量 A 的一个确定值与之对应，则 称矢量 A 是标量变量 t的矢量函数，记为
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在直角坐标系中 A Ax i Ay j Az k ，则
A • i ( Ax i Ay j Az k ) • i Ax
A • 0 ，那么，若 A • B 0，则 A B 。 若 A 0，
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A • B A B cos( A, B) AB cos( A, B)
AB cos
即
A • B AB cos
( 0 )
因标积的运算符号为“• ”，所以标积通 常称为点积。
在直角坐标系中则有
i •i j • j k • k 1 i • j j • k k •i 0
Ax cos , A
Az cos , cos A A
Ay
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2 2 2 cos cos cos 1 。于是用 且有 x、y、z三个方向的分矢量表示 A 时有
A Ax i Ay j Az k
上式称为 A 在直角坐标系中的正交分解式。 利用正交分解式可进行矢量的加减运算。计算 时，把对应方向的分矢量相加减，所得结果即 为所求矢量的对应分量。 即若 A Ax i Ay j Az k
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
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根据定义我们可以得到如下结论： 1. A A 0
2. 若 A 0, B 0 ，则 A / / B A B 0 3. A B B A （不满足交换律） 4. ( A) B ( A B) A ( B) （ 为实数） 5. C ( A B) C A C B 6.在直角坐标系中有