-0.025
2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264

2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案

第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量

假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
sx s9 9 0.04μm
修正后检定量块的结果为
x x ( ) 10.0005 (0.0001) 10.0004mm
解：1、计算算术平均值
1 10 x xi 24.7724mm 10 i 1 2、计算残余误差 vi xi x
n
1 2
xi
24.774 24.778
vi
0.0016 0.0056 -0.0014
3
4
24.771
24.780
0.0076
-0.0004 0.0046
5
6 7
24.772
( x ) t0.05 2 (n 1)s( x ) 2.306 0.000978 0.002256( mm)
9、写出最后测量结果
x 24.77489mm 24.7749mm
( x ) 0.002256mm 0.0023mm
x x x 24.7749 0.0023 mm
比较项目 内容
系统误差
随机误差
不 同
发 现 方 法
恒定系统误差 用标准器具计量检定 统计检验 可变系统误差 残差观察法 和检验法 小样本序差法
消除误差源 引入修正值 改进测量方法
减 小 点 方 法
重复测量n次取平 均值其标准差减小 为原 1 n
异 同 点
比较项 目内容
客观性
系统误差
随机误差
都是误差，它们都始终存在于一 切科学实验中
直接测量结果的数据处理步骤


1、计算算术平均值 2、计算残余误差 vi xi x 1 n 2 3、计算单次测量的标准差 s( x ) xi x n 1 i 1 4、判断系统误差

1 n x xi n i 1
恒定系统误差：用标准器具检定 可变系统误差：残差观察法、和检验法、小样本序差法（组内） 3σ准测(n>50)、Grubbs准测(3<n<50)、Dixon准则(3<n<30)

5、判别粗大误差



6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差 7、计算算术平均值的标准差 s( x ) 8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）s( x ) n 9、写出最后测量结果 ( x ) t s / n
直接测量结果的数据处理实例

对某一轴径等权测量10次 （mm），求测量结果
f xi (i 1,2,, n) 为各个输入量在该测量 点 ( x1, x2 ,, xn ) 处的误差传播系数 xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用 xi 和 y 的量纲或单位不相同，则 f xi 起到误差单位换算的作用
常见函数的系统误差计算
24.777 24.773 24.775 24.774
3、计算单次测量的标准差
vi2
i 1 10
0.0006
0.0026 0.0016 -0.0224
8
s
10 1
0.008343mm
9
10
24.750
4、判断系统误差
0.01 0.005
根据残余误差观察法， 0 可以看出误差符号大 0 -0.005 体上正负相同，且无 -0.01 显著变化规律，因此， -0.015 可判断该测量列无变 -0.02 化的系统误差存在。
比较项目内容
定义 误差源
随机误差 无限多次测量的平 测得值与无限多次 均值与真值之差 测量的平均值之差
多与单个因素有关 多由大量均匀小的因素 共同影响造成
系统误差
不 同
本质特性 抵偿性 表示方法 数 字 特 征
确定性 无
确定性函数
统计规律 有 统计概率分布
点
恒定系统误差用算 用算术平均值代表期望值 术平均值对真值的 用实验标准差代表分散性 偏离来表示 非恒定系统误差用 用置信限代表结果的可能 多参数表示 取值范围
【解】 用基准量块检定该仪器含有+0.1 μm 的基本误差， 故用该仪器检定量块的修正值为-0.0001mm 。 计算
0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.6 0.4 10.0005mm 9 1 0, 2 0.2, 3 0.1, 4 0, 5 0.2, 6 0.1, 7 0, 8 0.1, 9 0.1μm x 10 s9 1 ( xi x )2 0.12μm 9 1
pv
i 1 m
m
2 i 1
(m 1) pi
i 1
1.1
3、求加权算术平均值的区间半宽度 因为该角度进行六组测量共有120个直接测 得值，可认为该测量列服从正态分布，取置 信因子k=3 最后结果的区间半宽度为
( ) 3s( ) 31.1 3.3
4、写出最后测量结果
o
75o1806 4 75o1810
2、求加权算术平均值的标准偏差 计算残差
v1 1 75o1806 75o1810 4
v2 0, v3 2, v4 6, v5 3, v5 1
s
f f f dy dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn

各个直接测量值的系统误差 x1 , x2 ,L , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分 量 dx1 , dx2 ,L , dxn
函数系统误差
y
的近似计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
y f ( x1, x2 ,..., xn )
x1, x2 ,, xn 与被测量有函数关系的各个直接 测量值及其他非测量值，又称输入量 y 间接测量值 又称输出量

一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f ( x1, x2 ,..., xn )

由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
因
p1 : p2 : p3 : p4 : p5 : p6 1: 5 : 4 : 2 : 2 : 6
取 p1 1, p2 5, p3 4, p4 2, p5 2, p6 6
p
i
6
i
20
计算加权算术平均值

p
i 1 6 i
6
i
p
i 1
i
1 0 5 4 4 2 2 10 2 7 6 3 75 1806 20
计算结果
残差和统计法
0 0.2 0.1 0 0.1
1
1 2
0.1 0 0.1 0.1 0.1
2
0.1 0.1 0 2 9 s9 0.72
故可判断无显著的线性系统误差。 小样本序差统计法 8
1
B ( i i 1 )2 0.22 0.32 0.12 0.2 2 0.32 0.12 0.12 0.2 2 0.33 B A i 0.12 1.4 2A 1
x 1 xi 24.77489mm 9 i 1
9
s
v
i 1
9
2 i
91
0.002934mm
7、计算算术平均值的标准差
s( x ) 0.002934 s( x ) 0.000978mm n 9
8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度） 因为测量列的测量次数较少，算术平均值的区间半 宽度按t分布计算，查t分布临界值表 t0.05 2 (9 1) 2.306

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算
出被测量 间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数

函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误
差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差