数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比较4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得2+22+23+…+22(12)12n--21-2.小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。

（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(－－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2－7n ＋14(n∈N *)． 法二（累加法）即－－1＝2n －8，－1－－2＝2n －10，…b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{}中，前n 项和与通项的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n nn .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列｛｝中，＞0 (∈＊），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 2a 8＝25，a 3与的等比中项为2。

（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设＝2 ，数列｛｝的前n 项和为当1212n S S S n++•••+最大时，求n 的值。

解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +25a ＝25又＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，12q =，a 1＝16，所以， 1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）＝2 ＝5－n ，所以，＋1－＝－1，所以，{}是以4为首项，－1为公差的等差数列。

所以，(9),2n n n S -=92n S nn -= 所以，当n ≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n Sn＜0，当n ＝8或9时，1212n S S Sn++•••+最大。

小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。

二、数列的前n 项和 1.前n 项和公式的定义：12+…。

2.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；21nk k==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。

（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

（3）倒序相加法：如果一个数列{}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11n n a a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a da a ++=-⋅；2）1d=。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：（1）111(1)1n n nn ++=-；（2）1111()()n n k k nn k++=-；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）11(1)!!(1)!n n n n ++=-（5）常见放缩公式：==.3.典型例题分析【题型1】 公式法例1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－p ，则2232221n a a a a ++++ ＝.解：1）当1时，p -2a 1=；2）当2n ≥时，1-n 1-n n1-n n n 2p)-(2-p)-(2S -S a ===。

因为数列{}n a 为等比数列，所以1p 12p -2a 1-11=⇒===从而等比数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列。

故等比数列{}2n a 为首项为1，公比为4q 2=的等比数列。

1)-(4314-1)4-1(1nn 2232221==++++na a a a小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。

5）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 及⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也为等比数列，首项分别为21a 、1a 1，公比分别为2q 、q 1。

【题型2】 分组求和法例2 （2010年丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *∈N 在函数()2f x x =+的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，122n -+，…项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。

∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-。

（Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n n b a --+==+-=+∴12n n S b b b =+++11(23)23nniii i n ==+=+∑∑1122323212n n n n ++-+=+--.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

【题型3】 裂项相消法例 3 （2010年东城二模19改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，求1223341n n n T c c c c c c c c +=++++。

证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②① -②得 1144n n n a a a +-=-． 所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-． 又12n n n b a a +=-， 所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+，所以21314a a =+=．所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n n b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++1144n =-+4(4)n n =+． 小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

它适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；2）1d=。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和） 4.数列求和的方法（2）（5）错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的. （6）累加（乘）法（7）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如＝(－1)(n)类型，可采用两项合并求。