S3=1.1(S2-X2*)=264.9798万元，X3*= =126.1808万元
S4=1.1(S3-X3*)=152.6789万元，X4*=S4=152.6789万元
最大值为maxZ=ƒ1(400)=43.0813万元
(1)
令ƒ= + + + - ( ) - -
求偏导，有
即
因此，解得：
（1）动态规划方法的优越性与不足
f4(S4)=maxX4=S4( )= 及最优解 X4*= S4
f3(S3)=max0≤X3≤s3( +f4(S4))=max0≤X3≤s3(( + )
研究函数h(x)= ，可求得当 时，h(x)max= =
FOC h’(x)= +
Xo =
SOCh (x0)<0
因此 f3(S3)= max0≤X3≤s3(( + )= 及最优解X3*=
令最优值函数fk(sk)表示为第k阶段的初始状态为Sk,从k阶段到4阶段所得效用的最大值。
S1=400XBiblioteka S2X2S3X3S4X4S5设S4=X4S4=1.1(S2-X2)S2=1.1(S1-X1)S1=400
则有S4=X40 X3 S30 2 S20 X1 S1=400
于是用逆推解法，从后向前依次有：
（3）比较两种解法，并说明动态规划方法啊有哪些优点。
动态规划研究的问题是与时间有关的，它是研究具有多阶段决策过程的一类问题，将问题的整体按时间或空间的特征而分成若干个前后衔接的时空阶段，把多阶段决策问题表示为前后有关联的一系列单阶段决策问题，然后逐个加以解决，从而求出了整个问题的最优决策序列。
由于动态规划方法有逆序揭发和顺序解法之分，其关键在于正确写出动态规划的递推关系式。一般来说，当初始状态给定时，用逆推的较方便；当终止状态给定时，用顺推比较方便。
f2(S2)=max0≤X2≤s2(( +f3(S3)=max0≤X2≤s2(( + = 及最优解X2*=
f1(S1)= max0≤X1≤s1（ +f2(S2))= max0≤X1≤s1（ + = =43.0813万元及最优解X1*= =86.2069万元
S2=1.1(S1-X1)=345.17241万元，X2*= =104.2817万元
动态规划的成功之处在于，它可以把一个n维决策问题变换为n个一维最优化问题，一个一个地求解。这是经典极值方法所做不到，它几乎超越了所有现存的计算方法，特别是经典优化方法。另外，动态规划能够求出全局极大或极小，这也是其它优化方法很难做到的。
应该指出的是，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊的算法，它不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（例如单纯形法），而必须对具体问题进行具体分析，针对不同的问题；运用动态规划的原理和方法，建立起相应的模型；然后再用动态规划方法去求解。
n阶段决策过程：
其中取
本题是一个四阶段决策问题，设第n年初有Sn万元资金(连同利息)可用于投资，用掉Xn万元。其中，Sn+1=1.1（Sn-Xn）
maxZ= + + +
s.t.
设状态变量为S1、S2、S3、S4、S5，并记S1=400；取问题中的变量X1、X2、X3、X4为决策变量；各阶段指标函数按加法方式结合。
题目:设某人有400万元金额,计划在四年内全部用于投资。已知在一年内若投资用去X万元就能获得 万元的效用。每年没有用掉的金额，连同利息（年利率10%）可再用于下一年的投资。而每年已打算用于投资的金额不计利息。试制定金额的使用计划，而使四年内获得的总效用最大？
（1）用动态规划方法求解
（2）用拉格朗日乘数法求解