求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①
若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．
例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，
由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112
c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．
例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．
解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n
n a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24
a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a Ca D
++=+的数列 对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=
+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D
+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②
若②有二异根,αβ，则可令
11n n n n a a c a a ααββ
++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ． 若②有二重根αβ=，则可令
111n n c a a αα
+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ． 此方法又称不动点法．
例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21
n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为221x x x +=
+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13
c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n
n n n
a --∴=+-．
例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==
∈+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122
n n c a a +=+++ 由12,a =得2314
a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152
a =+为首项，以1为公差的等差数列，
123(1)11552
n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。