笛卡尔和费马确定直角坐标系的思想方法
1．费马的思想方法．
(1)引进坐标，系统地研究曲线的方程．1629年费马写成《平面和立体轨迹引论》，在这篇文章中他把希腊数学中使用立体图而苦心研究发现的曲线的特征，通过引进坐标译成了代数语言，从而使各种不同的曲线有了代数方程一般的表示方法．费马还具体地研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程．
(2)通过坐标的平移和旋转化简方程．费马注意到了坐标可以平移或旋转．他曾给出一些较复杂的二次方程，然后通过平移或旋转将它们化为简单的形式．
(3)空间解析几何思想的萌芽．1643年，费马在一封信中，曾简短地描述了三维解析几何的思想．
2．笛卡尔的思想方法．
有这么一个故事：有一天，笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。

他就拼命琢磨。

通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。

突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。

蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。

他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。

同样，用一组数（a,b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。

于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

笛卡尔的中心思想是要建立起一种普遍的数，使算术、代数和几何统一起来．其思想方法主要表现在以下几方面：
(1)引入坐标观念．笛卡尔从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系，从而建立起坐标的观念．
(2)用方程表示曲线的思想．笛卡尔把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程的x，y值无穷多，当x变化时，y值也跟着变化，x，y的不同的数值所确定平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．具有某种性质的点之间有某种关系，笛卡尔说：“这关系可用一个方程来表示”，这就是用方程来表示曲线的思想．这样，就可以用一个二元方程来表示平面曲线，并根据方程的代数性质来研究相应曲线的几何性质；反过来，可以根据已知曲线的几何性质，确定曲线的方程，并用几何的观点来考察方程的代数性质．
(3)推广了曲线的概念．笛卡尔不但接纳以前被排斥的曲线，而且开辟了整个的曲线领域．笛卡尔所说的曲线，是指具有代数方程的那一种．他认为，几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。

这就取消了曲线是否存在看它是否可以画出这个判别标准。

但是，笛卡尔关于曲线概念的推广并不彻底，几何曲线未必都能用代数方程表示出来．莱布尼兹(Leibniz，1646—1716)把有代数方程的曲线叫代数曲线，否则叫超越曲线．实际上笛卡尔及其同时代人都以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺线(log ρ=aθ)和其它非代数曲线．
(4)按方程的次数对几何曲线分类．按照笛卡尔的观点，含x和y 的一次和二次曲线属于第一类，即最简单的类；三次和四次方程的曲线构成第二类；五次和六次方程的曲线构成第三类；余类推．之所以如此分类，是因为笛卡尔相信每一类中高次的可以化为低次的．如四次方程的解可以通过三次方程的解来求出．然而他这个信念是不对的．
笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。

如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。

两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。