于 是J(u)1(Lu,u)(f,u) 2
与(1.1)比较: H01 Rn
T
T dt
x1
1 y2 dx
0
0 2gy
1 y2
dt
dx
2gy
定义K 函 { y|y 数 C 1 [0 ,x 1 ]集 y ,(0 ) 0 ： ,y (x 1 ) y 1 }
泛 函 ： T(y) x1
1y2 dx,yK
0 2gy
最速 降线问题 表示为：
求y0 K , 使得
T
(
y0
)
要求:曲线l : y y(x),0 x x1,
且y(0) 0, y(x1) y1
P(x, y)
使得沿l由A到B自由运动时间最短。 v
B(x1, y1)
分析：由能量守恒1原 md理 s2： mgy 2 dt
弧微分公 ds 式1y2dx 1y2 dx 2gy dt
1 y2
dt
dx
2gy
由A到B的时间为：
J(x0)(Ax0
b,
x)
2
2
(Ax,
x)
J(x)在x0点达到极小，则 ( ) 在 0 达 到极小。
2 () = J (x 0 x ) J (x 0 )(A x 0 b ,x ) 2 (A x ,x )
因 此 ( 0 ) ( A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
即 J(x)在x0 点达到极小。
命 题 1 .求 x R n , 满 足 A x b . 命 题 2 .求 x R n , 满 足 ( A x b ,y ) 0 , y R n . 命题3. 求x Rn 使得
J(x) minJ( y) (1.4) yRn
其中J( x)是由(1.1)定义的二次函数,称为Rn上的二次 泛函或简称泛函数。
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
故s是u的一个泛函，其中u所属的函数集合
K u u C 1 ( )u , ( x ,y )
这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题
求 S（ u0u 0） K ， S（ u使 ）得 ， uK
min
yK
T
(
y)
例：最小曲面问题
设x y平面上有开区域Ω，其边界记为 ，在 上
给定条件 u(x,y), (x, y) 是 上的已知函数
从而给出 空间中的封闭曲线C。最小曲面问题就是求 张紧在曲线C上的曲面中，其面积最小的曲面。
设曲面方程为u＝u（x，y）(x,y) ,
对应与u的曲面面积为
我 们 进 一 步 分 析 势 能 J(u )的 结 构 ， 引 进 微 分 算 子
d2u L u Td x2
则 W 内 1 2 0 lT ( d d u x ) 2 d x 1 2 0 l( T d d x 2 u 2 ) u d x 1 2 ( L u ,u )
l
W 外 0 fu d x (f,u )
A
B
0
l
xx
பைடு நூலகம்
u
根据力的平衡条件，u(x)满足微分方程 Tu f(x), 0xl (2.1)
和边值条件 u(0)0,u(l)0 (2.2)
T是弦的张力。
这 样 ， 求 弦 的 平 衡 位 置 就 归 结 为 解 两 点 边 值 问 题 .
另一方面，由力学“极小位能原理”弦的平衡位置 u* u*(x)是满足边值条件的一切可能位置中，使总势能 最小。
设二次泛函J 在 x 0 达到极小，则对于一切
xRn,x0,R
J(x)1(Ax,x)(b,x) 2
有 ( ) J(x0x)J(x0) (0 ) . 若A对称，
()
J(x0
x)
1 2(Ax0
Ax,
x0
x)
(b,
x0
x)
1 2[(Ax0,
x0)
(Ax0,
x)
(Ax
x0)
2(Ax, x)](b, x0)(b, x)
设弦任意位置uu(x),它的总势能为
J(u)1
lT(u(x))2dx
l
f udx
20
0
1 l[T(u(x))2 2uf]dx (2.3) 20
据 极 小 势 能 原 理 ， u * u * (x )是 下 列 变 分 问 题 的 解 ： J (u * ) m u in J (u ) (2 .4 )
第七章 数学物理方程的变分原理
第一节 变分问题介绍
1、古典变分问题
例 1.1（最速降线问题） Bernoulli1696年提出的。设点 A （ 0， 0）和B(x1,y1),不同在一条与y轴平行的直线上， 有一质点受重力作用从A到B沿曲线路径自由下滑， 求质点下降最快的路径，问题中不考虑摩擦力。
A(0,0)
结 论 ： 命 题 1 命 题 2 命 题 3 （ A 对 称 正 定 ）
一定条件下二次函数的 极值问题与线性方程组问题等价
第二节、一维数学物理问题的变分问题
弦 的 平 衡 问 题 ： 考 察 一 根 长 为 l的 弦 ， 其 两 端 固 定 在 点 A(0,0)和 B(l,0)。 设 有 强 度 为 f(x)的 外 荷 载 垂 直 向 下 作 用 在 弦 上 ， 发 生 形 变 。 用 uu(x)表 示 在 荷 载 f(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
总 结 上 面 的 几 个 实 际 例 子 ， 可 以 看 出 ， 都 是 在 研 究 关 于 泛 函 在 某 一 集 合 上 的 最 值 问 题 ， 也 即 变 分 问 题 ， 采 用 变 分 法 处 理 。
变分问题：求泛函极值的问题
1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）
考 虑 n个 变 量 的 二 次 函 数 :
J(x)J(x1,x2,Lxn)1 2i,n j1aijxixji n1bixi
(1.1)
1(Ax,x)(b,x) 2
其中 A ( a i j) n n ,a i j a j i,x ( x 1 ......x n ) T ,b ( b 1 ...... b n ) T
(,)为 Rn中 的 内 积 。
特 别 的 取 x A x 0 b ,则 得 A x 0 b 0 反之,若 Ax0 b0，显然有
(A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
进 一 步 ， 若 A 为 对 称 正 定 矩 阵 ， 则 对 任 意 的 x0,
R，
2
有 J (x 0x )J (x 0)2(A x ,x )J (x 0)