二元一次方程组的基本概念及配套练习题
8.1 二元一次方程组
【课前导入】
（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？
1)代数式：单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数
的字母连成的式子。
2)等式：用“=”表示相等关系的式子。
3)方程：含有未知数的等式。
4)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
5)一元一次方程：在一个方程中未知数只有1个，并且未知数的最高次数是
1的等式。
【新课内容】
二元一次方程（组）的概念
我们来看一个问题：
例1、丁丁想利用家里的天平称出一个苹果和一个梨的质量分别是多少？
问题展示：一个苹果和一个梨的质量合计200g。
这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x g和y g，你能列出方程吗？
利用这个方程你能帮助丁丁分别求出苹果和梨的质量吗？
这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等，你还能列出方程吗？
例2、篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。
某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
思考：以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分，
这两个条件可以用方程表示：
x ＋y ＝22
2x ＋y ＝40
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x 和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同? 注意：二元一次方程的左边和右边都应是整式
上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x 、y 必须同时满足方程
x ＋y ＝22 ① 和2x ＋y=40 ② 把这两个方程合在一起，写成
x y 222x y 40+=⎧⎨
+=⎩
由于问题中包含两个必须同时满足的条件(等量关系)，所以未知数x ，y 必须同时满足方程 ①，②，也就是说，我们要解出的x ，y 必须是这两个方程的公共解。
像这样，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
这里给出二元一次方程组的概念，两个二元一次方程合在一起就组成二元一次方程组。
更一般地说，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一
个二元一次方程组。
特别地，x 2x y 4=⎧⎨+=⎩，和x 1y 2=⎧⎨=⎩这样的方程组也是二元一次方程组。
满足方程①，且符合实际的意义的x,y 的值有那些？把它们填入表中。
下表中哪对x,y 的值还满足方程②？
设计这个探究的目的是，让学生通过对具体数值代人方程的过程，感受到满足一个二元一次方程的未知数的值有许多对。
由于要考虑实际意义，所以满足方程①的未知数的值有23对(未知数为0～22的整数)。
注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即
y b ⎧⎨
=⎩，一个二元
一次方程有无数对解，但是并不是说任意一对数值都是它的解。
我们还发现，x=18，y=4既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
我们把x ＝18，y=4叫做二元一次方程组
x y 222x y 40+=⎧⎨+=⎩的解，这个解通常记作x=18y=4⎧⎨
⎩
联系前面的问题可知，这个队应在全部比赛中胜18场负4场。
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
注意：二元一次方程组的解，既是方程组第一个方程的解，又是第二个方程的解。
【例题讲解】
例1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y = 3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围.
练习：（1）方程x
∣a ∣ – 1
+(a -2)y = 2是二元一次方程，试求a 的值. （2）若方程x
2 m –1
+ 5y 3n – 2 = 7是二元一次方程.求m 、n 的值
例2 求二元一次方程3x ＋2y ＝19的正整数解.
【巩固练习】
1.下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A 、⎩⎨⎧==+5723xy y x
B 、⎩⎨⎧=+=+212z x y x
C 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=-243123y x y
x
D 、⎪
⎩⎪⎨⎧=+=+3
22135y x y x
2.
3．写出方程 14=-y x 的一组解
4. 方程组 的解是（ ）
A 、⎩⎨⎧-==25.02y x
B 、⎩
⎨⎧=-=45.5y x C 、⎩⎨⎧==5.01y x D 、⎩⎨⎧-=-=5.01
y x
5.下列说法中正确的是( )
A 、⎩
⎨
⎧==23
y x 是方程3x-4y=1的一个解. B 、方程3x-4y=1有无数组解，
即x 、y
可以取任何数值.
C 、⎩⎨⎧=-=+1
5y x y x 的解有两个，分别是3=x 和2=y D 、⎩⎨⎧==2
1y x 是方程组⎩⎨
⎧=-=+0
3y x y x 的一组解.
3x ＋4y=5 －7x ＋9y=－25
6.已知下面的三对数值：⎩⎨⎧=-=;
10,
8y x ⎩⎨⎧==;6,0y x ⎩⎨⎧=-=.7,2y x
（1） 哪几对数值使方程122=+y x 左、右两边的值相等？
（2） 哪几对数值是方程组⎩
⎨⎧-=-=+6,
122y x y x 的解？
结论：一个二元一次方程的解有 组，而一个二元一次方程组的解只有 组.
7、列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
加工某种产品需要两个工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解：设
依题可列方程组：
8、如果三角形的三个内角分别是0x ，0y ，0y ，求：（1）x 、y 满足的关系式.（2）当90=x 时，y 是多少？（3）当60=x 时，y 是多少？。