式中ξ与变量 有x关， (x) (x x0 )(x x1) (x xn ).
12
当 f (x是)次数不超过 的n多项式时，插值多项式就是
函数本身，余项 R[ f ] 为零，所以这时插值型求积公式
至少具有 n次代数精度.
反之，如果求积公式(1.5)至少具有 次n代数精度，则
它必定是插值型的.
实际得到将是
~f ，k
即
f (xk )
~ fk
k.
记
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
In
(
~ f)
n
Ak ~f k .
k 0
k 0
15
如果对任给小正数 0,只要误差 充k 分小就有
~
In( f ) In( f )
n
Ak [ f ( xk )
~ fk ]
,
（1.8）
曲边梯形的面积 I(图4-1).
图4-1
3
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f (的)值. 将 f 称(为) 区间
上[a的, b平]均高度.
这样，只要对平均高度 f提(供) 一种算法，相应地便
获得一种数值求积方法.
用两端点“高度“ f (a与) f的(b算) 术平均作为平均高度
构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数 xk 和 A的k 代数问题.
10
4.1.3 插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
且已知函数 f (在x)这些节点上的值， 作插值函数 Ln (.x)
取
b
In a Ln (x)dx
作为积分
I
b
a
f
的(x近)d似x 值，
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
T b a [ f (a) f (b)] 2
是梯形公式(几何意义参看图4-2).
（1.1）
4
图4-2
用区间中点 c 的a “2 b高度” 近f似(c地) 取代平均 高度 f (，)则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a) f ( a b ). 2
权 A仅k 仅与节点 的xk选取有关， 而不依赖于被积函数
f (x) 的具体形式.
6
这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积 分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼 兹公式需要寻求原函数的困难.
7
4.1.2 代数精度的概念
数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公 式对尽可能多的函数准确成立.
证明 都有
对任给 0, 取 , 若对 k 0,1, , n
ba
~ f ( xk ) fk
,
则当 Ak 时0有
In ( f ) In ( ~f )
n
Ak (
f
( xk )
~ fk )
（1.2）
5
一般地，可以在区间 [a上, b适] 当选取某些节点 ， xk
然后用 f (x加k )权平均得到平均高度 的f (近 )似值，
这样构造出的求积公式具有下列形式：
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk ),
k 0
（1.3）
式中 x称k 为求积节点； Ak 称为求积系数，亦称伴随节点 xk 的权.
x
初等函数表示的原函数； （2）当 f是(x由) 测量或数值计算给出的一张数据表
时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题.
由积分中值定理知，在积分区间 [a内, b存]在一点ξ， 成立
b
a f (x)dx (b a) f ( ),
2
就是说，底为 b 而a高为 f的(矩)形面积恰等于所求
4.1 引言
4.1.1 数值求积的基本思想
依据微积分基本定理，对于积分
b
I a f (x)dx,
只要找到被积函数 f (的x)原函数 F，(x便) 有下列牛顿-莱 布尼兹(Newton-Leibniz)公式：
b
a f (x)dx F (b) F (a).
但对于下列情形：
1
（1）被积函数，诸如 sin x 等, si等n ，x2找不到用
充分必要条件是，它是插值型的.
14
4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在求积公式(1.3)中，若
n
b
lim
n h0
k 0
Ak
f
( xk )
a
f (x)dx.
其中
h
max
Байду номын сангаас1i n
(
xi
xi1 ),
则称求积公式(1.3)是收敛的.
在求积公式(1.3)中，由于计算 可f (能xk 产) 生误差 ， k
k 0
则表明求积公式(1.3)计算是稳定的， 由此给出:
定义3 对任给 0, 若 0, 只要
f
(xk )
~ fk
(k 0,1, , n)
就有(1.8)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.
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定理2 若求积公式(1.3)中系数 Ak 0(k 0,1, , n) 则此求积公式是稳定的.
定义1 如果某个求积公式对于次数不超过 m的多项式 均能准确地成立，但对于 m 次1多项式就不准确成立，
则称该求积公式具有 m次代数精度.
梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.
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欲使求积公式(1.3)具有 次m代数精度，则只要令它
对 f (x) 1,2,都准, x确m成立，就得到
事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数 成立，即有
应lk (准x) 确
b
n
a lk ( x)dx
Ajlk ( x j ).
j 0
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注意到 lk (x j ) kj , 上式右端实际上即等于 A，k 因而式(1.6)
b
Ak a lk (x)dx.
成立. 这样，有
定理1 形如(1.5)的求积公式至少有 次n 代数精度的
n
Ak b a,
k 0
n
1
Ak xk (b2 a2 ),
k 0
2
n
k 0
Ak xkm
1 (bm1 a m1 ).
m 1
（1.4）
9
如果事先选定求积节点 ，xk譬如，以区间 的[a等, b]
距分点作为节点，这时取 m ，n求解方程组(1.4)即可确
定求积系数 A，k 而使求积公式(1.3)至少具有 次n代数精度.
这样构造出的求积公式
n
I n Ak f ( xk ) k 0
（1.5）
11
称为是插值型的，式中求积系数 A通k 过插值基函数 lk (x)
积分得出
b
Ak a lk (x)dx.
（1.6）
由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的 求积公式(1.5)，其余项
R[ f ] I In b f (n1) ( ) (x)dx, （1.7） a (n 1)!