交变电流一、基础知识1.交变电流（1）交变电流：大小和方向都随时间做周期性变化的电流，叫做交变电流。

（2）正弦式交变电流：上图（a ）按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流。

由线圈在匀强磁场里绕垂直于磁场方向的轴匀速转动而产生。

（3）周期、频率和角速度的关系：ω＝2πT＝2πf 。

（4）变化规律：规律 物理量 函数图象磁通量Φ＝Φm cos ωt ＝BS cos ωt电动势 e ＝E m sin ωt ＝nBSωsin ωt电压u ＝U m sin ωt ＝RE mR ＋rsin ωt电流i ＝I m sin ωt ＝E mR ＋rsin ωt线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦΔt ＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变．线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦΔt 最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变．（5）交变电流的有效值：对于正(余)弦式交流电，有效值可以利用I ＝I m 2，U ＝U m 2，E ＝E m2来计算。

对于非正(余)弦式交流电，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，I 2Rt ＝I 12Rt 1+I 22Rt 2+I 32Rt 3+…，U 2R t ＝U 12R t 1+U 22R t 2+U 32Rt 3+… ，其中t ＝t 1+t 2+t 3+…（6）“四值”的比较：物理量物理含义重要关系 适用情况及说明 瞬时值交变电流某一时刻的值e ＝E m sin ωti ＝I m sin ωt 计算线圈某时刻的受力情况峰值最大的瞬时值E m ＝nBSωI m ＝E mR ＋r讨论电容器的击穿电压有效值跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值E ＝E m2U ＝U m 2I ＝I m 2适用于正(余)弦式交变电流(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值(3)保险丝的熔断电流为有效值平均值 交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值E ＝Bl vE ＝n ΔΦΔtI ＝ER ＋r 计算通过电路截面的电荷量(1)先求电动势的最大值E m ＝nBSω； (2)求出角速度ω，ω＝2πT；(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；(4)线圈从中性面位置开始转动，则i －t 图象为正弦函数图象，函数式为i ＝Imsin ωt. (5)线圈从垂直中性面位置开始转动，则i －t 图象为余弦函数图象，函数式为i ＝Imcos ωt. (6)写出瞬时值的表达式．2.变压器（1）基本关系式：功率关系，P 入=P 出电压关系，U 1n 1＝U 2n 2，有多个副线圈时U 1n 1＝U 2n 2＝U 3n 3＝…电流关系，I 1I 2＝n 2n 1，有多个副线圈时，U 1I 1＝U 2I 2＋U 3I 3＋…＋U n I n（2）制约关系：电压，副线圈电压U 2由原线圈电压U 1和匝数比决定，即U 2＝n 2n 1U 1(原制约副)功率，副线圈中的功率P 2由用户负载决定，原线圈的输入功率P 1由副线圈的输出功率P 2决定，即P 1＝P 2(副制约原)电流，原线圈的电流I 1由副线圈的电流I 2和匝数比决定，即I 1＝n 2n 1I 2(副制约原)（3）高压输电：输送电流，I ＝P U ＝U －U ′R 能量损失，Q=ΔU I I = I 2Rt 。

电压损失，ΔU ＝U －U ′＝IR 功率损失，ΔP ＝P －P ′＝I 2R ＝ΔPΔU 2R（4）匝数比不变负载改变时：U 1不变，根据U 1U 2＝n 1n 2，输入电压U 1决定输出电压U 2，不论负载电阻R 如何变化，U 2也不变。

当负载电阻发生变化时，I 2变化，输出电流I 2决定输入电流I 1，故I 1发生变化。

I 2变化引起P 2变化，由P 1＝P 2知P 1发生变化。

两个相互靠近的线圈，其中一个电流发生变化，它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电流。

（5）负载不变匝数比改变时：U 1不变，n 1n 2发生变化，U 2变化。

R 不变，U 2变化，I 2发生变化。

根据P 2＝U 22R 和P 1＝P 2，可以判断P 2变化时，P 1发生变化，U 1不变时，I 1发生变化。

（6）一般解题思路：二、常规题型例1.关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，下列说法中正确的是(C)A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向不变B．线圈每转动一周，感应电流的方向改变一次C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都改变一次D．线圈每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e＝E m sin ωt和i＝I m sin ωt；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e＝E m cos ωt和i＝I m cos ωt.不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次．故正确答案为C.练习 1.小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的(C)A．交变电流的周期为0.125 sB．交变电流的频率为8 HzC．交变电流的有效值为 2 AD．交变电流的最大值为4 A由题图可知，交变电流的周期为0.250 s，频率为4 Hz，交变电流的最大值为2010A＝2 A，有效值为22A＝ 2 A，所以应选C.练习2.如图所示是一台发电机的结构示意图，其中N、S是永久磁铁的两个磁极，它们的表面呈半圆柱面形状．M是圆柱形铁芯，它与磁极的柱面共轴，铁芯上有一矩形线框，可绕与铁芯M共轴的固定转动轴旋转．磁极与铁芯之间的缝隙中形成方向沿半径、大小近似均匀的磁场．若从图示位置开始计时，当线框绕固定转动轴匀速转动时，下列图象中能正确反映线框中感应电动势e随时间t变化规律的是(D)因发电机的两个磁极N 、S 呈半圆柱面形状，故线框在磁场中转动时一直垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小不变，线框越过空隙段后，由于线框切割磁感线方向发生变化，所以感应电动势的方向发生变化，综上所述，D 正确．练习3. 如图甲所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 ( D )t ＝0时刻，根据题图乙表示的转动方向，由右手定则知，线圈中电流方向为a →d →c →b →a ，与规定的电流正方向相反，电流为负值．又因为此时ad 、bc两边的切割速度方向与磁场方向成45°夹角，由E ＝2Bl v ⊥，可得E ＝2×22Bl v ＝22E m ，即此时电流是最大值的22倍，由图乙还能观察到，线圈在接下来45°的转动过程中，ad 、bc 两边的切割速度v ⊥越来越小，所以感应电动势应减小，感应电流应减小，故瞬时电流的表达式为i ＝－I m cos (π4＋ωt )，则图象为D 图象所描述，故D 项正确．练习4.实验室里的交流发电机可简化为如图所示的模型，正方形线圈在水平匀强磁场中，绕垂直于磁感线的OO ′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R 和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V ．已知R ＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是 ( D ) A ．线圈平面与磁场平行时，线圈中的瞬时电流为零B ．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流瞬时值表达式为i ＝2sin 50πt AC ．流过电阻R 的电流每秒钟方向改变25次D ．电阻R 上的热功率等于10 W线圈平面与磁场平行时，瞬时感应电流最大，A 错．从线圈平面与磁场平行时开始计时，Εm ＝10 2 V ，f ＝25 Hz ，i ＝2cos 50πt A ，B 错．电流方向每秒改变50次，C 错．P R ＝U 2R＝10 W ，D 正确．例2. 如图甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了无级调节亮度．给该台灯接220 V 的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为 ( B )A ．220 VB ．110 V C.2202VD.1102V设电压的有效值为U ，根据有效值定义有⎝⎛⎭⎫22022R·T 2＝U 2RT ，解得U ＝110 V ，则B 项正确．练习1.如图所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min 的时间，两电阻消耗的电功之比W 甲∶W 乙为 ( C )A ．1∶ 2B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶6电功的计算中，I 要用有效值计算，图甲中，由有效值的定义得(12)2R ×2×10－2＋0＋(12)2R ×2×10－2＝I 21R ×6×10－2，得I 1＝33A ；图乙中，I 的值不变，I 2＝1 A ，由W ＝UIt ＝I 2Rt 可以得到W 甲∶W 乙＝1∶3. 练习2. 电阻R 1、R 2与交流电源按照如图甲所示方式连接，R 1＝10 Ω、R 2＝20 Ω.合上开关S 后，通过电阻R 2的正弦交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示．则( B )A ．通过R 1的电流的有效值是1.2 AB ．R 1两端的电压有效值是6 VC ．通过R 2的电流的有效值是1.2 2 AD ．R 2两端的电压有效值是6 2 V 由题图知流过R 2交流电电流的最大值I 2m ＝0.6 2 A ，有效值I 2＝I 2m2＝0.6 A ，故选项C 错误；由U 2m ＝I 2m R 2＝12 2 V 知，U 2＝12 V ，选项D 错误；因串联电路电流处处相同，则I 1m ＝0.6 2 A ，电流的有效值I 1＝I 1m2＝0.6 A ，故选项A 错误；由U 1＝I 1R 1＝6 V ，故选项B 正确．练习3. (2012·北京)一个小型电热器若接在输出电压为10 V 的直流电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为P2.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为( C )A ．5 VB ．5 2 VC ．10 VD ．10 2 V根据P ＝U 2R ，对直流电有P ＝102R ，对正弦式交流电有P 2＝U ′2R ，所以正弦式交流电的有效值为U ′＝PR 2＝102V ，故交流电源输出电压的最大值U m ′＝2U ′＝10 V ，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．例3.（多选）如图所示，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b 所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是( BC )A ．在图中t ＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零B ．线圈先后两次转速之比为3∶2C ．交流电a 的瞬时值表达式为u ＝10sin 5πt (V)D ．交流电b 的最大值为5 Vt ＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，故电压为零，A 错．读图得两次周期之比为2∶3，由转速n ＝ω2π＝1T 得转速与周期成反比，故B 正确．读图得a 的最大值为10 V ，ω＝5π rad/s ，由交流电感应电动势的瞬时值表达式e ＝E m sin ωt (V)(从线圈在中性面位置开始计时)得，u ＝10sin 5πt (V)，故C 正确．交流电的最大值E m ＝nB Sω，所以根据两次转速的比值可得，交流电b 的最大值为23×10 V ＝203V ，故D 错．练习1.如图所示，线圈abcd 的面积是0.05 m 2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R ＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度B ＝1π T ，当线圈以300 r/min 的转速匀速旋转时．问：(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式； (2)线圈转过130s 时电动势的瞬时值多大？(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？(4)从中性面开始计时，经130s 通过电阻R 的电荷量是多少？(1)e ＝E m sin ωt ＝nBS ·2πf sin (2πft )＝100×1π×0.05×2π×30060sin (2π×30060t ) V ＝50sin 10πt V(2)当t ＝130 s 时，e ＝50sin (10π×130) V ≈43.3 V .(3)电动势的有效值为E ＝E m 2＝502 V ≈35.4 V ，电流表示数I ＝E R ＋r ＝35.49＋1 A ＝3.54 A ，电压表示数U ＝IR ＝3.54×9 V ＝31.86 V.(4)130 s 内线圈转过的角度θ＝ωt ＝30060×2π×130＝π3. 该过程中，ΔΦ＝BS －BS cos θ＝12BS ， 由I ＝q Δt ，I ＝E R ＋r ，E ＝n ΔΦΔt 得q ＝n ΔΦR ＋r ＝nBS 2R ＋r ＝100×1π×0.052×9＋1C ＝14π C.练习2.一理想变压器原、副线圈匝数比n 1∶n 2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u 如图所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 ( D )A ．流过电阻的电流是20 AB ．与电阻并联的电压表的示数是100 2 VC ．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 JD ．变压器的输入功率是1×103 W原线圈中电压的有效值是220 V ．由变压比知副线圈中电压为100 V ，流过电阻的电流是10 A ；与电阻并联的电压表的示数是100 V ；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104 J ；P入＝P 出＝U 22R ＝100210V ＝1×103 W ． 练习3.（多选）一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示．由图可知 ( BD )A ．该交流电的电压瞬时值的表达式为u ＝100sin (25t ) VB ．该交流电的频率为25 HzC ．该交流电的电压的有效值为100 2 VD ．若将该交流电压加在阻值为R ＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W周期T ＝4×10－2 s ，峰值电压U m ＝100 V ，频率f ＝1T ＝25 Hz ，有效值U ＝U m2＝50 2 V ．加在R ＝100 Ω的电阻两端时，电阻消耗的热功率P ＝U 2R ＝50 W ，电压的瞬时值表达式u ＝U m sin 2πT t ＝100sin (50πt ) V例4. (2012·广东)（多选）某小型发电机产生的交变电动势为e ＝50sin 100πt (V)．对此电动势，下列表述正确的有 ( CD )A ．最大值是50 2 VB ．频率是100 HzC ．有效值是25 2 VD ．周期是0.02 s交变电动势e ＝E m sin ωt 或e ＝E m cos ωt ，其中E m 为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E ＝E m2，周期T ＝2πω，频率f ＝1T .由e ＝50sin 100πt (V)知，E m ＝50 V ，E ＝502V ＝25 2 V ，T ＝2πω＝2π100π s ＝0.02 s ，f ＝1T ＝10.02 Hz ＝50 Hz ，所以选项C 、D 正确．练习1. (2011·四川)（多选）如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T ，转轴O 1O 2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A ．那么 ( AC )A ．线圈消耗的电功率为4 WB ．线圈中感应电流的有效值为2 AC ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos2πTt D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T πsin 2πTt从线圈平面平行于磁感线开始计时，交变电流的感应电动势的表达式为e ＝E m cos ωt ，则感应电流i ＝e R ＝E mRcos θ，由题给条件有：1＝E m 2×12，解得E m ＝4 V ，则I m ＝2 A ，I 有效＝ 2 A ，线圈消耗的电功率P ＝I 2有效R ＝4 W ，所以A 正确，B 错误．e ＝4cos ωt ＝4cos 2πT t ，故C 正确．由E m ＝BSω＝Φm 2πT 得Φm ＝2Tπ，故任意时刻Φ＝2T πsin 2πTt ，D 错。