简记为：
极小≤极大，剪枝 极大≥极小，剪枝
-剪枝（续）
f
0 0 1
d b
0 3
m h
1
1
n
e g
k
i
1
6
a
0
c
-3
3
5 4
-3
6
j
0
5
-3
3
3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
-剪枝注意点
1)在不同类型节点间比较：极大 VS 极小 2)与“先辈层”而不只是“父辈层”有值的节点比较 3)只有节点值固定后，才能向上层传递 4) -剪枝不影响极大极小算法的结果
n3
=2+2+k(n5,N)+k(n6,N)
=4+2+k(n7,N)+k(n8,N) +2+ k(n7,N)+k(n8,N) =8 目标n8
n6
目标n7
• 解图3： 初始节点n0
n1
n2 n5
n4
K(n0,N) =2+k(n4,N)+k(n5,N) =3+2k(n5,N) =3+2×2
n3
n6 目标n8 目标n7
第二章 与或图搜索
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。 k-连接符：k>1为“与”节点，k=1为“或”节点
…...
k个
与或图
n0
n1
n2 n4 n5 n0有2个外向连接符， 分别为1-连接符（n1), 2-连接符（n4,n5);n8 是n4的或子节点，同时 又是n5的与子节点
n7
目标
n0
n1 n2
初始节点
红色：5
黄色：6
n1
5 n0
初始节点
n4
n2(4)
1 n4(1)
n3
n5 n3(4)
n5(1)
2
n6
h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0
n8
n6(2)
n8(0)
目标
（3,1,1,1,1）
MIN
MIN
（2,2,1,1,1）
MAX
注：若有n0至{n1,n2}的解图，则我方胜; （2,1,1,1,1,1） n2 但不存在！ 22
中国象棋
一盘棋平均走50步，总状态数约为10161 假设1毫微秒走一步，约需10145年。 结论：对于许多博弈问题（国际跳棋、围棋 等），不可能穷举。
7
• 解图1：
初始节点n0
n1
n2 n5
n4
K(n0,N) =2+k(n4,N)+k(n5,N) =2+1+k(n8,N)+2+ k(n7,N)+k(n8,N) =5
n3
n6 目标n8 目标n7
• 解图2：
初始节点n0 K(n0,N)
n1
n2 n5
n4
=1+k(n1,N) =1+1+k(n3,N)
=7
AO*算法思路: 对局部图的评价
初始节点
c
a
b 目标 目标
两个过程
扩展节点的图生成过程（自上而下）
从最优的局部图中选择一个节点扩展
计算耗散值的过程（自下而上）
对当前的局部图重新计算耗散值 判断祖先节点的可解/不可解性 删去无用的后裔节点
AO*算法举例
n0
初始节点
n1
n …... n1 n2
ni
i个
解图（对于无环与或图而言） 递归定义：
一个与或图G中，从节点n到节点集N的解图记为G’ ，G’是G的子图 1. 如果n是N的一个元素，则G’由单一节点n 组成； 2. 如果n有一个外向连接符k指向节点{n1, n2,…, nk}使得从每一个ni到N有一个解图，则G’由n、连 接符k和每一个ni到N的解图组成； 3. 否则n到N不存在解图。
MIN
MAX
注：若有n0至N的解图，则我方必胜
分钱币问题
我方（MAX）先走, 或节点
对方（MIN）后走, 与节点 （7）
n0 MAX
（6,1）
（5,2） （3,2,2）
（4,3）
MIN
（5,1,1） （4,2,1）
（3,3,1）
MAX
（4,1,1,1） （3,2,1,1） （2,2,2,1） n1
目标
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4
2,5*
n0
初始节点
n4(1) n2(4)
n3
n5 n3(4)
n5(1) 初始q(n1)=h(n1)=2; 扩展后： q(n1)=min{1+4,1+4}=5>2; n8
n6
目标
n7
目标
红色：4
黄色：6
h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0
分钱币问题
对方（MIN）先走, 与节点
我方（MAX）后走, 或节点 （7）
n0 MIN
（6,1）
（5,2） （3,2,2）
（4,3）
MAX
（5,1,1） （4,2,1）
（3,3,1）
MIN
（4,1,1,1） （3,2,1,1） （2,2,2,1） （3,1,1,1,1） （2,1,1,1,1,1） （2,2,1,1,1）N
-3
3
3
-3
0 2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
29
-剪枝
边生成估值边计算倒推值，从而剪去某些分支的 技术 极大节点的下界为。 极小节点的上界为。 顺序：剪枝顺序自左至右或自右至左 剪枝的条件：
后辈节点的值≤祖先节点的值时， 剪枝 后辈节点的 值≥祖先节点的值时， 剪枝
5* n4(1) n2(4) n0
初始节点
n4
n3
n5 n3(4)
n5(1)
2*
n6
h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0
n8
n6(2)
n8(0)
目标
n7(0)
n7,n8为终节点，故可解； 于是，标记n5可解； n0尚未可解； 选择红色局部图继续扩展(n4非终节点）
n7(0)
q(n4)=1，不变，q(n0)=5不变。n4可解；故 n0可解，算法成功退出。
n7
目标
AO*算法与A*的比较性质
1）AO*应用于与或图搜索，搜索的是解图；而A*则应用于一般图的 搜索，搜索的是解路径。 2）AO*选择估价最小的局部解图优先扩展；而 A*选择估价最小的路 径（节点序列）加以优先扩展。 3）AO*无需考虑评价函数f(n)的分量g(n)，只需对新扩展出的节点n 计算h(n)，并倒推修正上层节点估值;而A*则需同时计算分量g(n)和 h(n)，以评价节点n是否在代价最小的路径上。 4）AO*存放候选的待扩展局部解图，并依据fi(n0)值排序(i个连接 符）；而A*则应用OPEN表和CLOSE表分别存放待扩展节点和已扩展节 点，并依据f(n)值排序。 当h(n)≤h*(n)且h(n)满足单调性约束时，AO*一定能找到最佳解图。
极小极大分析法
不生成（也无法生成）完整的博弈树（因而也不搜索 解图）；而是在有限的深度范围内，引入节点评估值， 进而寻求当前较好的一种走法；模拟人类对弈的思维。 当前己方所处状态作为根节点，按照宽度优先搜索策 略，扩展出预定深度（偶数，成对）的与或搜索树， 端节点用给定的估价函数估值，交替使用极小-极大的 原则，倒推上层节点估值，直至根节点。 对己方有利的估值大，反之对对方有利。 博弈树扩展深度越大越精确，但计算量庞大，通常一 定深度。
＋ ∞,
p是A方胜局 p是B方胜局
e(p)＝
－ ∞,
e(+p)-e(-p), p是未定局 0, p是和局
e(+p)：可使a成为三子一线的数目 e(-p )：可使b成为三子一线的数目 e(+p)=4; e(-p)=6; e(p)=-2, 对B方有利。
a b
我方先手
1
MAX
a
-1
a
-2
a
1
MIN
a b
n3
n6 n8
n7
2
与或图搜索问题
初始节点n0
n1
n2 n4 n5 搜索的目的:考察n0到目标 （终节点）集合N={n7,n8} 是否有解并找到解图
n3
n6
目标 n8 目标 n7
能解节点
终止（目标）节点可解 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其 子节点至少有一能解时，该非终节点才能解。 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其 子节点均能解时，该非终节点才能解。
初始节点
黄色：6
n1
5*
n0
初始节点
n4(1)
n5(1)
2*
n8
n6(2)
n8(0)
目标
n7(0)
初始q(n5)=h(n5)=1; 扩展后q(n5)=min{1+2,2+0+0}=2;指 针选择2-连接；q(n0)=min{6,2+2+1}=5；