- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
可见复随机变量的方差 是实部和虚部方差之和 。
3.6复随机过程
对于两个复随机变量 1 X 1 jY1和Z 2 X 2 jY2 Z 它们的相关矩为： Z1Z 2 E[ Z1 * Z 2 ],*表示复共轭 R 将Z1 , Z 2代入上式得： RZ1Z 2＝E[( X 1 jY1 )( X 2 jY2 )] RX1 X 2 RY1Y2 j ( RX1 X 2 RY1Y2 )
mz(t)=E[Z(t)]=mx(t)+jmY(t) 它的方差则是实时间函数，即
即
2 z(t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 X (t ) 2Y (t )
3.6复随机过程
自相关函数定义为： Z (t , t ) E[ Z * (t ) Z (t )] R 协方差函数定义为： CZ (t , t ) E{[ Z (t ) mz (t )]*[ Z (t ) mZ (t )]} 当 0时，有 RZ (t , t ) E[| Z (t ) |2 ], CZ (t , t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 Z (t )
例3.7平稳过程X(t)的自相关函数为R X ( )=100e-10| | 100 cos(10 ) 100 求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX ( ) {100cos10 } {100e100| | 100} RX1 ( ) RX 2 ( )
RX1 ( )为平稳过程周期分量的相关函数是随相正弦波的相关函数， 该分量的均值为零。于是由性质6可得非周期分量 R X ()=m 2 X =100，
例3.6设随机过程X (t ) a cos( w0t ) N (t ), 式中， a, w0为常数，为(0,2 )上均匀分布的随机变量， N(t) 为一般平稳过程，对于所有的t而言， 与N(t)皆统计独立。
X (t ) a cos( w0t ) N (t )
自相关函数为：RX ( ) a cos w0 RN ( ) 2 可见，相关函数也含有与所以过程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。
广义复随机过程
由实随机过程广义平稳 定义可直接类推出复随 机过程广义平稳条件， 如果复随机过程 (t )满足： Z E[ Z (t )] mZ 复常数 E[ Z * (t ) Z (t )] RZ ( ) E[| Z (t ) |2 ] 则称Z ( t )为广义平稳复随机过程 。
复随机变量协方差定义 为： CZ1Z 2 E[(Z1 mZ1 ) * ( Z 2 mZ 2 )]
3.6复随机过程
3.6.2复随机过程
考虑随时间变化的复随机变量，就可以得到复随机过程。 如果X(t)和Y(t)为是随机过程，则
Z(t)＝ X(t)＋j Y(t)
为复随机过程，它的数学期望是一个复时间函数，
性质4 : RX (0) E[ X 2 (t )] RX (0)代表了平稳过程的“总 平均功率”
性质5 : 非周期平稳过程 (t )的自相关函数满足 X

lim RX ( ) RX () mX
2
从物理意义上讲，当 增大时X(t)与X(t+ )之间相关性会减弱。 在 的极限情况下，两者互相独立，于是有：
故有m X =m X2 = 10 均方值为E[X 2 ( t)]=R X (0)=300 方差为 2 X =R X (0)-m 2 X =200
例.3.8非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数 4 RX ( ) 25 1 6 2 求数学期望和方差.
解:根据性质5可求出随机过程的数学期望
m
利用性质6得
2
X
RX () 25
mX 5
方差为： 2 X RX (0) RX () 29 25 4
因此,随机过程X(t)的数学期望为 ± 5. 方差为4.
性质7自相关函数必须满足 R X ( )e jw d 0


并对所有的w都成立。
性质8一个函数能成为自相关函数的充要条件是，必须满足 半正定性，即对任意函数f(t),有
性质4; 互相关函数和互协方差 函数的幅度满足： 1 | RXY ( ) | [ RX (0) RY (0)] 2 1 1 2 同理有： XY ( ) | [C X (0) CY (0)] [ X 2Y ] |C 2 2
（1）相关系数
相关系数也是表示随机 过程X (t )关联程度的统计量， C X ( ) RX ( ) RX () 它定义为归一化函数： X ( ) 2 X RX (0) RX ()
所以RX (0) | E[ X (t ) X (t )] || RX ( ) |
性质3：周期平稳过程 (t )的自相关函数是周期函 X 数， 且与周期平稳过程的周 期相同。RX ( T ) RX ( )
证：RX ( T ) E[ X (t) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )

lim RX ( ) lim E[ X (t ) X (t )] m 2 X

故有R X ()=m2 X
对于中心化自相关函数，则有lim CX ( ) CX () 0

性质6：若平稳过程含有平均分量(均值)为m X ,则自相关函数 将含有固定分量m 2X。即R X ( )=CX ( )+m 2X
3.2平稳过程相关函数的性质
3.2.1平稳过程相关函数的性质
性质1：实平稳过程 (t )的自相关函数为偶函数 X RX ( ) RX ( )
证：RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
性质2：平稳过程X (t )的自相关函数的最大点 0处 在 RX (0) | RX ( ) |
两个复随机程情况
对于两个复随机过程 1 (t )和Z 2 (t )互相关和互协方差函数 Z 定义为： RZ1Z 2 (t , t ) E[ Z1 * (t ) Z 2 (t )] CZ1Z 2 (t , t ) E{[ Z1 (t ) mZ1 (t )]*[ Z 2 (t ) mZ 2 (t )]}
证：任何正的随机函数的数学期望值恒为非负值，即
E[(X(t) X(t+ ))2 ] 0 E[X 2(t) 2X(t)X(t+ )+X 2(t+ )] 0
对于平稳过程，有E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] RX (0) 代入前式得，2RX (0) 2 E[ X (t ) X (t )] 0
且满足性质5的条件下有 2X =R X (0)-R X ()
证：CX ( )=E[{X(t)-mX }{X(t+ )-mX }]=R X ( )+m 2 X 故有R X ( )=CX ( )+m 2 X
考虑到非周期平稳过程，有R X ()=m2 X，并且 0时，有 CX (0)= 2 X =R X (0)-m2 X =R X (0)-R X ()