所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)

a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义2
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t )
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
RXY ( t , t ) E[ X ( t )Y ( t )] RXY ( ),
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
RX ( ) .
2 X
若令 0 ,
2 2 则 X C X (0) RX (0) X .
说明
要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定 其平稳性在实际中不易办到.

而 0时, 令t t , 则自相关函数:
E[ X ( t ) X ( t )] I e
2 2
只与有关
所以随机电报信号X (t ) 是一平稳过程 .
其图形为:
RX ( )I2o Nhomakorabea
例4 设随机过程X ( t ) A cos(t ) , t ,
解
因X (t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 故有
E[ X ( t )] 0
RX ( t , t ) RX ( )
令Y ( t ) X ( t ) X (0), 则 E[Y ( t )] E[ X ( t )] E[ X (0)]
X ( 0)
解
的概率密度为
X(t) 的均值函数为
1 / T , 0 T , f ( ) 0, 其他.
E[ X ( t )] E[ s( t )]

T 0
1 1 i T s( t ) d s( )d . T T i
利用s( )的周期性
1 T 知 E[ X ( t )] s( )d 常数. T 0 而自相关函数 RX ( t , t ) E[ s( t ) s( t )] T 1 s ( t ) s ( t ) d 仅与有关 0 T 具有周期性 1 i T s( ) s( )d RX ( ) T i
那么, 称X ( t ) 和 Y ( t )是平稳相关的 , 或两过程是
联合宽平稳的.
二、应用举例
例1 设{ X k , k 1,2,}是互不相关的随机变量
序列, 且 E[ X k ] 0, E[ X ] , 则有
2 k 2
2 , k l , Rx ( k , l ) E[ X k X l ] 0, k l ,
第一节
平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的
发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变
化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2,), t1 , t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X ( t1 ), X (t2 ),, X (tn ))
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程的概念 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
变函数.
EA2 E[cos(t1 ) cos(t2 ) ] 2 1 2 cos ( t 2 t1 ) 2 cos 2 所以{ X ( t )}是平稳过程 .
例5 设X ( t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 而且不恒等于一个随机 变量. 问 : X ( t ) X (0), t 是否仍为平稳过程?
0

e
a2 2 2
π da 2
E( A )
2

a
3 2e
0

a2 2 2
da

0
2ae
a2 2 2
da 2 2
故
E[ A cos(t ) ] EA E[cos(t ) ]
EA 0 0
RX ( t1 , t 2 ) E[ A cos(t1 ) A cos(t 2 ) ]
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0)
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
当T为离散情况, 称平稳过程X n 为平稳随
机序列, 或平稳时间序列.
说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重
要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.
平稳过程数字特征的特点:
(设平稳过程X ( t )的均值函数E[ X ( t )]存在)
是随机的, 假设N ( t , t )服从泊松分布.
即事件
Ak { N ( t , t ) k }
k
( ) 的概率为 P ( Ak ) e , k 0,1,2, k! 其中 0是单位时间内变号次数 的数学期望.
试讨论 X ( t ) 的平稳性.
解
和 ( X ( t1 h), X ( t2 h),, X ( tn h))
具有相同的分布函数, 则称随机过程 { X ( t ), t T } 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为:
( ,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
P ( A0 ) P ( A2 ) P ( A4 ) ...
事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
P ( A1 ) P ( A3 )
2 2
E[ X ( t ) X ( t )] I P ( A2 k ) I P ( A2 k 1 ) k 0 k 0 k 结果与t 无关 ( ) 2 2 2 I e I e . k! k 0
E[ X ( t )] 0
下面计算 E[ X ( t ) X ( t )]
如果电流在 [t , t )内变号偶数次
X (t )和X (t )必同号且乘积为 I 2,
如果电流在 [t , t )内变号奇数次
X (t )和X (t )乘积为 I 2 , 事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).