2017年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（2a2）3=8a6C．a8÷a4=a2D．（a+b）2=a2+b24．（3分）用科学记数法表示的数是1.69×105，则原来的数是（）A．169 B．1690 C．16900 D．1690005．（3分）在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称，若点A的坐标为（2，3），则点B所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C．D．27．（3分）根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1=0一个解的取值范围是（）A ．0.59＜x ＜0.61B ．0.60＜x ＜0.61C ．0.61＜x ＜0.62D ．0.62＜x ＜0.638．（3分）某外贸公司要出口一批规格为150g 的苹果，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，苹果的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中随机抽取了50个苹果称重，并将所得数据处理后，制成如下表格．根据表中信息判断，下列说法错误的是（ ）A ．本次的调查方式是抽样调查B ．甲、乙两厂被抽取苹果的平均质量相同C ．被抽取的这100个苹果的质量是本次调查的样本D ．甲厂苹果的质量比乙厂苹果的质量波动大9．（3分）将抛物线y=2（x ﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ）A ．y=2（x ﹣1）2+5B ．y=2（x ﹣1）2+1C ．y=2（x +1）2+3D ．y=2（x ﹣3）2+310．（3分）如图，△ABC 内接于半径为5的圆心O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则tanA 等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分解因式：x ﹣2xy +xy 2= ．12．（4分）如图，已知AB ∥CD ，∠A=49°，∠C=27°，则∠E 的度数为 ．13．（4分）张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是．14．（4分）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：++﹣6sin60°（2）解不等式组．16．（6分）化简求值：（）÷+，中a=3+．17．（8分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C 位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．18．（8分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．19．（10分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A （1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为a，tana=．（1）求k的值及点B坐标．（2）设点P是x轴上一动点．则当△PAB的面积为2时，求P点坐标．20．（10分）如图，AB是圆O的直径，D、E为圆心O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，连接AC交圆心O于点F，连接AE、DE、DF，已知∠E=∠C．（1）证明：CD=BD；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，E是弧AB的中点，cosB=，求E G•ED的值．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如果二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有两个交点，那么m的取值范围是．22．（4分）有五张正面分别标有数字0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为n，则使关于x的分式方程有解的概率为．23．（4分）将正方形沿虚线（其中x＜y）剪成①，②，③，④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则=．24．（4分）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣，﹣4），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A 运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是．25．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=10，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为5；③当AD=3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD=5；⑤当点D从点A运动到B点时，线段EF扫过的面积是20．其中正确结论的序号是．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）某营业厅销售的A型号手机去年销售总额为8万元，今年该型号手机每部售价预计比去年降低200元．若该型号手机的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%．求：（1）A型号手机去年每部售价多少元？（2）该营业厅今年计划新进一批A型号手机和新款B型号手机共60部，且B 型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的两倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型手机销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批新近手机销售获利最多？27．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC 上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当=时，求的值；（2）如图②，当=时，求AF与OA的比值（用含m的代数式表示）；（3）如图③，当=时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系（用含m的代数式表示），并说明理由．28．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，B为AO的中点，DC⊥DB交x轴于点C，E在y轴上，且OC=OE，经过B、E、C三点的抛物线与直线AD交于F、G两点，与其对称轴交于M点（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，求出满足条件的点P的坐标；（3）N是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点H，使以C，D，N，H为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．2017年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：的相反数是﹣，故选：C．2．（3分）如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．故答案为：C．3．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（2a2）3=8a6C．a8÷a4=a2D．（a+b）2=a2+b2【解答】解：A、原式=6a2，不符合题意；B、原式=8a6，符合题意；C、原式=a4，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选B4．（3分）用科学记数法表示的数是1.69×105，则原来的数是（）A．169 B．1690 C．16900 D．169000【解答】解：1.69×105，则原来的数是169000，故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称，若点A的坐标为（2，3），则点B所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点A的坐标为（2，3），点A与点B关于x轴对称，∴B（2，﹣3），则B点在第四象限．故选：D．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C．D．2【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴BO=sin60°•AB=2×=，∴BD=2．故选：D．7．（3分）根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1=0一个解的取值范围是（）A．0.59＜x＜0.61 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63【解答】解：∵x=0.61时，x2+x﹣1=﹣0.0179；x=0.62时，x2+x﹣1=0.0044，∴方程x2+x﹣1=0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．故选C．8．（3分）某外贸公司要出口一批规格为150g的苹果，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，苹果的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中随机抽取了50个苹果称重，并将所得数据处理后，制成如下表格．根据表中信息判断，下列说法错误的是（）A．本次的调查方式是抽样调查B．甲、乙两厂被抽取苹果的平均质量相同C．被抽取的这100个苹果的质量是本次调查的样本D．甲厂苹果的质量比乙厂苹果的质量波动大【解答】解：A、两个厂的苹果数量较多，不能采用普查，要用抽样调查，故A 正确；B、甲厂被抽取的苹果的平均质量是150g，乙厂被抽取的苹果的平均质量是150g，故B正确；C、被抽取的100个苹果的质量是样本，故C正确；D、∵S甲2=2.6＜S乙2=3.1，∴甲厂的苹果质量比乙厂的苹果质量波动小，故D错误，故选D．9．（3分）将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即y=2（x﹣3）2+3，故选：D．10．（3分）如图，△ABC内接于半径为5的圆心O，圆心O到弦BC的距离等于3，则tanA等于（）A．B．C．D．【解答】解：作直径BD，连接CD，作OH⊥BC于H，则OH=3，BH=HC，∵BO=OD，BH=HC，∴CD=2OH=6，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，由勾股定理得，BC==8，∴tanD==，∵∠D=∠A，∴tanA=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分解因式：x﹣2xy+xy2=x（y﹣1）2．【解答】解：x﹣2xy+xy2，=x（1﹣2y+y2），=x（y﹣1）2．故答案为：x（y﹣1）2．12．（4分）如图，已知AB∥CD，∠A=49°，∠C=27°，则∠E的度数为22°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=49°，又∵∠C=27°，∴∠E=49°﹣27°=22°，故答案为22°．13．（4分）张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是18．【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：16，16，18，18，18，18，19，19，21，21．位于最中间的两个数都是18，所以这组数据的中位数是18．故答案为：18．14．（4分）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=，∴阴影部分的面积=××tan30°×=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：++﹣6sin60°（2）解不等式组．【解答】解：（1）原式=3+（﹣3）+1﹣6×=3﹣2﹣3=﹣2；（2）解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，∴不等式组的解集为1＜x＜3．16．（6分）化简求值：（）÷+，中a=3+．【解答】解：（）÷+=[+]•+=•+=+==，当a=3+时，原式==1+．17．（8分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C 位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．18．（8分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．【解答】解（1）画树状图得：则共有16种等可能的结果；（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：=．19．（10分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A （1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为a，tana=．（1）求k的值及点B坐标．（2）设点P是x轴上一动点．则当△PAB的面积为2时，求P点坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y=2x，得a=2，则A（1，2）．把A（1，2）代入y=，得k=1×2=2；过B作BC⊥x轴于点C．∵在Rt△BOC中，tanα=，∴可设B（2h，h）．∵B（2h，h）在反比例函数y=的图象上，∴2h2=2，解得h=±1，∵h＞0，∴h=1，∴B（2，1）；（2））∵A（1，2），B（2，1），∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0）．∵S=S△PAD﹣S△PBD=2，△PAB设点P的坐标为（m，0），∴|3﹣m|×（2﹣1）=2，解得m1=﹣1，m2=7，∴P点的坐标为（﹣1，0）或（7，0）．20．（10分）如图，AB是圆O的直径，D、E为圆心O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，连接AC交圆心O于点F，连接AE、DE、DF，已知∠E=∠C．（1）证明：CD=BD；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，E是弧AB的中点，cosB=，求EG•ED的值．【解答】证明：（1）如图1，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵∠E=∠C，∠B=∠E，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴CD=BD；（2）如图1，∵四边形AEDF是⊙O的内的内接四边形，∴∠CFD=∠E=55°，∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°；（3）如图2，连接OE，∵∠CFD=∠AED=∠C，∴FD=CD=BD=4，∵∠B=∠AED，∴cos∠B=co∠AED=，在Rt△ABD中，cos∠B=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∵∠AEG=∠AED，∴△AEG∽△DEA，∴，∴EG•DE=AE2=（3）2=18．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如果二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有两个交点，那么m的取值范围是m＜1．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即22﹣4×1×m＞0，解得：m＜1；故答案为：m＜1．22．（4分）有五张正面分别标有数字0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为n，则使关于x的分式方程有解的概率为．【解答】解：∵1﹣nx+2x﹣4=﹣1，∴（2﹣n）x=2，则x=，由分式方程有解可得n≠2且n≠1，∴使关于x的分式方程有解的概率为，故答案为：．23．（4分）将正方形沿虚线（其中x＜y）剪成①，②，③，④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则=．【解答】解：如图，由拼图前后的面积相等得：[（x+y）+y]y=（x+y）2，∴=，∴1+=+1，∴=，∴=，∴+1=，∴（+1）=×，因为y≠0，整理得：（）2+﹣1=0，解得：=或=（负值不合题意，舍去）．故答案为：．24．（4分）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣，﹣4），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A 运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是（2，﹣2）．【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=OC，OC⊥AB，∴∠AOE+∠COF=90°．∵∠COF+∠OCF=90°，∴∠AOE=∠OCF．在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴AE=OF，OE=CF．∵BP平分∠ABC，∴===，∴=．∵反比例函数y=的图象经过点（﹣，﹣4），∴k=﹣×（﹣4）=4，∴设点A的坐标为（a，）（a＞0），∴=，解得：a=2或a=﹣2（舍去），∴CF=OE=a=2，OF=AE==2．∴点C的坐标为（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．25．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=10，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为5；③当AD=3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD=5；⑤当点D从点A运动到B点时，线段EF扫过的面积是20．其中正确结论的序号是①②④．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD．∴∠E=∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°．∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．∴∠F=∠CDF．∴CD=CF．∴CE=CD=CF．∴结论“CE=CF”正确．②当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°．∵AB=10，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=5，BC=5．∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=BC=．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴线段EF的最小值为5．∴结论“线段EF的最小值为5”正确．③当AD=3时，连接OC，如图3所示．∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA=CO，∠ACO=60°．∵AO=5，AD=3，∴DO=2．∴AD≠DO．∴∠ACD＞∠OCD≠30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DCA．∴∠ECA≠30°．∴∠ECO≠90°．∴OC不垂直EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，∴EF与半圆不相切．∴结论“EF与半圆相切”错误．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC．∴∠AGD=90°．∴∠AGD=∠ACB．∴ED∥BC．∴△FHC∽△FDE．∴=．∵FC=EF，∴FH=FD．∴FH=DH．∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°．∴BF=BD．∴∠FBH=∠DBH=30°．∴∠FBD=60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°．∴∠FAB=30°．∴FB=AB=5．∴DB=4．∴AD=AB﹣DB=5．∴结论“AD=5”正确．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=5×5=25．∴EF扫过的面积为25．∴结论“EF扫过的面积为20”错误．故答案为：①、②、④．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）某营业厅销售的A型号手机去年销售总额为8万元，今年该型号手机每部售价预计比去年降低200元．若该型号手机的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%．求：（1）A型号手机去年每部售价多少元？（2）该营业厅今年计划新进一批A型号手机和新款B型号手机共60部，且B 型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的两倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型手机销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批新近手机销售获利最多？【解答】解：（1）设去年A型手机每部售价x元，则今年每部售价（x﹣200）元．由题意=，解得x=2000，经检验x=2000是分式方程的解，符合题意，∴去年A型手机每部售价2000元．（2）设新进A型号手机a部，则新款B型号手机（60﹣a）部，获利y元．y=（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），即y=﹣300a+36000，∵60﹣a≤2a，∴a≥20，∵﹣300＜0，∴当a=20时，y的值最大，最大值是30000元．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC 上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当=时，求的值；（2）如图②，当=时，求AF与OA的比值（用含m的代数式表示）；（3）如图③，当=时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系（用含m的代数式表示），并说明理由．【解答】解：（1）∵=，∴=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；（2）设EC=1，则BE=m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=m+1，∴△CEF∽△ADF，∴==，∴=，∵=，∴AC=2OA，∴=，∴=；（3）结论：=（）2，理由如下：设EC=1，则BE=m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=m+1，∴△CEF∽△ADF，∴===，∵FG⊥BC，∴FG∥CD，∴==，①∵FG∥AB，∴==，②由①×②，可得×=×，即=（）2．28．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，B为AO的中点，DC⊥DB交x轴于点C，E在y轴上，且OC=OE，经过B、E、C三点的抛物线与直线AD交于F、G两点，与其对称轴交于M点（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，求出满足条件的点P的坐标；（3）N是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点H，使以C，D，N，H为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y=x+2中，令x=0，y=0，于是得到A（﹣2，0），D（0，2），∴B（﹣1，0），∵BD⊥CD，∴OD2=OB•OC，∴C（4，0），E（0，4），设函数解析式为y=a（x+1）（x﹣4），∴a×1×（﹣4）=4，解得a=﹣1，∴经过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+3x+4；（2）∵A（﹣2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立，解得F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x2+3x+4）；∴PQ=﹣x2+3x+4﹣x﹣2=﹣x2+2x+2；由条件容易求得M（，），若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x M﹣x P|，即：﹣x2+2x+2=2（﹣x），解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去）∴P（2﹣，4﹣）；②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x M﹣x Q|，即：﹣x2+2x+2=﹣x，解得x=，x=（不合题意舍去）∴P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣，4﹣）或（，）；（3）当CD为边时，NH∥CD，NH=CD，∴x N﹣x H=±4，∴x N=或x N=﹣．代入y=﹣x2+3x+4得y N=﹣，而y N﹣y H=±2，∴y H=﹣或y H=﹣，∴H（，﹣）或（，﹣）；若CD为对角线，ND∥CH，ND=CH．x N﹣x D=∴x N=．代入y=﹣x2+3x+4得y N=，而y C﹣y H=y N﹣y D=，∴y H=﹣，∴H（，﹣）．综上所述，共有3个点H满足条件，即（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．。