第16讲开普勒定律万有引力定律考查内容考纲要求考查年份考查详情能力要求开普勒行星运动定律、万有引力定律及其应用Ⅰ、Ⅱ15年T3—选择，考查行星绕中央天体运动的规律理解、推理16年T7—选择，考查对开普勒行星运动定律的理解理解、分析综合17年T6—选择，考查卫星绕地球运转的规律理解、推理弱项清单,1.不能正确理解开普勒第二定律；2．混淆动能和总能量的概念；3．不能将太阳系内的常见情景迁移到其他星系．知识整合一、开普勒定律1．开普勒第一定律又称轨道定律．2．开普勒第二定律又称面积定律．3．开普勒第三定律又称周期定律．该定律的数学表达式是：____________．4．开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其他卫星的运动．研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关；研究月球、人造地球卫星运动时，k与____________有关．二、万有引力定律1．万有引力定律．其数学表达式是____________．万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律．2．____________实验证明了万有引力的存在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3．万有引力定律的应用计算中心天体的质量、密度若已知一个近地卫星(离地高度忽略，运动半径等于地球半径R)的运行周期是T. 有：G MmR2＝4π2mRT2，解得地球质量为____________；由于地球的体积为V＝43πR3，可以计算地球的密度为：____________．当然同样的道理可以根据某行星绕太阳的运动计算太阳的质量．方法技巧考点1 开普勒定律的应用1．开普勒行星运动定律是对行星绕太阳运动的总结，实践表明该定律也适应于其他环绕天体，如月球或其他卫星绕行星运动．2．开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示了同一行星在距太阳不同距离时运动的快慢，后者揭示了不同行星运动快慢的规律．【典型例题1】下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是( )A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处C．离太阳越近的行星运动周期越长D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等【典型例题2】(17年镇江模拟)飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示．如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间．1.如图是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是( )A．速率最大点是B点B．速率最小点是C点C．m从A点运动到B点做减速运动D．m从A点运动到B点做加速运动考点2 天体质量和密度的计算1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋mω2R.(2)在两极上：G MmR2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g′ mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g′＝GM （R ＋h ）2所以g g′＝（R ＋h ）2R2. 3．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R. 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr3GT 2R3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．【典型例题3】 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则下列关系式错误的是( )A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v3GT 2C ．行星运动的轨道半径为vT 2πD ．行星运动的加速度为2πvT【典型例题4】 (17年盐城模拟)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( )A ．ρ＝kT B ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝k GT22.(17年盐城期中)2016年9月15日“天宫二号”空间实验室由长征二号FT 2火箭发射升空．这意味着，中国成功发射了真正意义上的空间实验室，即实现了载人航天工程“三步走”战略的第二步.10月19日凌晨神舟十一号载人飞船与“天宫二号”实施自动交会对接，近似把对接后一起运行看作以速度v 绕地球的匀速圆周运动，运行轨道距地面高度为h ，地球的半径为R.求：(1)“天宫二号”绕地球运转的角速度； (2)“天宫二号”在轨道上运行的周期； (3)地球表面上的重力加速度的计算表达式．当堂检测 1.在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法中不正确的是( )A ．伽利略首先将实验事实和逻辑推理(包括数学推演)和谐地结合起来B ．笛卡儿对牛顿第一定律的建立做出了贡献C ．开普勒通过研究行星观测记录，发现了行星运动三大定律D ．牛顿总结出了万有引力定律并用实验测出了引力常量 2．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”两颗月球探测卫星，它们绕月的圆形轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km .当它们在绕月轨道上运行时，两者相比，“嫦娥二号”的( )A ．周期较小B ．周期相同C ．向心加速度相同D ．向心加速度较小 3．“宜居”行星，是指适宜人类生存的行星，美国国家航天航空局2011年2月2日宣布，开普勒太空望远镜经过一年多的探寻，共发现了54颗“宜居”行星，可能存在支持生命的条件．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的a 倍，半径为地球的b 倍，则该行星卫星的最大环绕速度是地球卫星最大环绕速度的( )A .ab 倍B .a b倍 C .b a倍 D .ab 3倍 4．(多选)在圆轨道运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，已知地面上的重力加速度为g ，则( )A ．卫星运动的速度为2gRB ．卫星运动的周期为4π2R gC ．卫星运动的加速度为g2D ．卫星的动能为mRg45．(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R ，万有引力常量为G.则下列说法正确的是( )A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 2L 2B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 2GL 2C ．月球的自转周期T ＝2πRv 0D ．月球的平均密度ρ＝3hv 22πGL 2第16讲 开普勒定律 万有引力定律知识整合 基础自测一、3.a 3T2＝k 4.太阳质量 地球质量二、1.F ＝Gm 1m 2r 22.卡文迪许扭秤 3．M ＝4πR 3GT 2 ρ＝3πGT2方法技巧·典型例题1·D 【解析】 由开普勒行星运动定律可知所有行星轨道都是椭圆，太阳位于一个焦点上，行星在椭圆轨道上运动的周期T 和半长轴a 满足a 3T2＝k (常量)，对于同一中心天体，k 不变，故A 、B 、C 都错误，D 正确．·典型例题2·()R ＋R 0T4RR ＋R 02R【解析】 飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A 点到B 点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为R ＋R 02，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ′.根据开普勒第三定律有R 3T2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋R 023T 2.解得T ′＝T⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋R 02R 3＝()R ＋R 0T2R R ＋R 02R.所以飞船由A 点到B 点所需要的时间为 t ＝T 2＝()R ＋R 0T 4R R ＋R 02R. ·变式训练1·C 【解析】 由开普勒第二定律知，行星与恒星的连线在相等的时间内扫过的面积相等；A 点为近地点，速率最大，B 点为远地点，速率最小，A 、B 错误；m 由A 点到B 点的过程中，离恒星M 的距离越来越远，所以m 的速率越来越小，C 正确，D 错误．·典型例题3·B 【解析】 因v ＝2πr T ，所以r ＝vT2π，选项C 正确；结合万有引力定律公式G Mm r 2＝m v 2r ，可解得恒星的质量M ＝v 3T2πG ，选项A 正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，选项B 错误；行星的加速度a ＝v 2r ＝2πvT，选项D 正确．·典型例题4·D 【解析】 由万有引力定律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，联立M ＝ρ·43πR 3和r＝R ，解得ρ＝3πGT2，3π为一常数，设为k ，故D 正确．·变式训练2·(1) vR ＋h(2) 2π()R ＋h v (3)g ＝(R ＋h )v2R2 【解析】 (1)v ＝ωr r＝R ＋h ω＝vR ＋h ；(2)由T ＝2πrv得 T ＝2π()R ＋h v；(3)在地球表面，有G Mmr2＝mg在距地面高h 处，有G Mm ()R ＋h 2＝m v 2R ＋h化简得g ＝(R ＋h )v 2R2.当堂检测 1．D2．A 【解析】 由万有引力充当向心力知F ＝G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝ma 可知：T ＝2πr 3GM，“嫦娥二号”的距月球表面越近，周期越小，故A 正确，B 错误；a ＝GMT2，“嫦娥二号”的距月球表面越近，向心加速度越大，故C 、D 错误．3．B 【解析】 由v ＝GMr，可知B 正确． 4．BD 【解析】 根据G Mm （2R ）2＝ma ＝m v 22R ＝m ·2R 4π2T2，解得v ＝GM 2R，T ＝4π2·8R3GM，a ＝GM 4R 2.又GM ＝gR 2，所以卫星的线速度v ＝gR 2，周期T ＝4π2R g ，加速度a ＝g4.则卫星的动能E k ＝12mv 2＝mgR4.故B 、D 正确，A 、C 错误. 5．AB 【解析】 根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2，联立解得g 月＝2hv 20L2，选项A 正确；由mg 月＝G mm 月R 2解得m 月＝2hR 2v 2GL 2，选项B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m 月43πR 3＝3hv 22πGL 2R ，选项D 错误．。