元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复
数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
矩阵加法的运算律：
☞(1) A+ B = B+ A
(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。
由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O，
由此，矩
2.矩阵的数乘： 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零
外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn)
i 1
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
a11 a12 ... a1n
可由向量组
1 1, 0,L , 0 T 2 0,1,L , 0 T
L
n 0, 0,L ,1T
线性表示。
=（a1,a2 L an） 行向量
b1
=（b1,b2 L
bn）T =

b2 M
bn
列向量
n
内积（ T，）= aibi
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
A

B


a21b21 ...
a22b22 ...
... ...
a2nb2n ...

am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
x y (x1 y1,..., xn yn ) 数量乘法
x (x1,x2,...,xn )
1. a b b a 2. (a b) c a (b c) 3. a 0 a 4. a ( a) 0
5. (a) ( )a 6. ( )a a a 7. (a b) a b
分量全为零的 n 维向量称为零向量，记为0，
即:
0 (0,0,...,0)
称向量( x1, x2 ,..., xn )为向量
x (x1, x2,..., xn) 的负向量，记为 x
二、n维向量的运算性质
设 x (x1, x2,..., xn ) y ( y1, y2,..., yn ) 规定加法
(2) ( )A A A (3) (A B) A B
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性
运算。
3.矩阵的乘法：设矩阵 A为m×n 阶矩阵、矩阵 B为 n×p 阶矩阵，A= (aij) m×n 、B= (bij) n×p ， 则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×p 阶矩阵
A


a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...

am1 am2 ... amn
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n，m×n 矩阵 A也记作A m×n。
Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n

A


a21
...
a22
...
... ...
a2n
...

am1 am2 ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
☞ (1) ()A (A)
1.定义 由n个数构成的有序数组称为n维向量
=（a1,a2, ,an）
b1

=

b2

bn
如果两个 n 维向量 a (x1, x2,..., xn)
b ( y1, y2,..., yn) 的对应分量相等，即xi yi (i 1,2,...,n)，则称 向量 a 与 b 相等，记为 a b
第一章 向量与矩阵的 基本运算
向量与矩阵是线性代数的一个主要研究 对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已 经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科 学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运 算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与 矩阵运算的一些基本规则与技巧。
第一节
向量与矩阵的基 本概念
一、n维向量：
8. 1a a
线性组合
=k11 k2 2 L kn n
向量的转置
（b1,b2 L
b1
bn） T =

b2 M
bn
b1 T b2 M bn
（b1,b2 L
bn）
证明：任意n维向量
k1, k2 ,L , kn T
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定