平面向量
一、向量的相关概念
1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0）
2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。

有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示
（1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重
合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

零向量的相反向量时零向量。

二、向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=。

AB BC CD DE AE +++=
特殊情况：a
b a
b a+b b
a a+
b (1)平行四边形法则三角形法则
C B D
C
B
A
对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______
当a 、b 不共线时，
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
已知向量a、b，求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作OA= a, OB= b, 则BA= a?b （指向被减
数）
即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：用“相反向量”定义法作差向量，a?b = a+(-b)
(?b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a ? b = a + (?b) a ?
b
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，
规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，λa与a平行.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=
λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.。