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补偿器选择与计算

补偿器分析本文讨论降压式Buck DC‐DC 补偿器的选择和参数计算。

1. Type II 补偿器Type II 补偿器如图 1所示:U i (s)U o (s)图 1 Type II 补偿器其传递函数为:()()()()+==-⎛⎫++ ⎪+⎝⎭21122121121.1o c i sR C U s G s C C U s sR C C sR C C(1)在设计的时候,一般>>12C C ,公式(1)可以简化为:()()+≈-+2122111.1c sR C G s sR C sR C(2)传递函数的零点为ω=211z R C ;极点为原点和ω=221p R C 。

Type II 补偿器的波特如图 2所示,当频率在ωz – ωp 之间,幅度增益近似于常数2120log R R ⎛⎫⎪⎝⎭,最大角度提升(PhaseBoost)为90o 。

图 2 Type II 补偿器波特图如果将穿越频率ωc 设定为对数坐标中的中点,即ωωω+=log log log 2z pc ,可得:ω=c(3)定义K 因子(K‐Factor)为:=K (4)由(3)和(4),零极点ωz 、ωc 可写成:ωωωω⎧=⎪⎨⎪=⎩.c z p c K K (5)当ωω=c 时,补偿器有的相位为:()ϕω--=--111tan tan 90.o c c j K K(6)Type II 补偿器的最小相位为‐90o 。

定义相位提升(phase boost)θBoost 为:()θϕω--=--=-11190tan tan .o Boost c c j K K(7)由于存在着这样的反三角函数关系:--+=111tan tan 90.o K K(8)由(7)和(8),可得:tan .452o Boost K θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9)相位裕量为ϕm ,开环传递函数的相位为()vd c j ϕω,那么Boost θ为:()90.o Boost vd c m j θϕωϕ=--+(10)2. Type III 补偿器Type III 补偿器如图 3所示:U i U o (s)图 3 Type III 补偿器其传递函数为:()()()()()()()()21123122121331211.11o c i sR C s RR C U s G s C C U s sR C C sR sR C C C +++==-⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭(11)在设计的时候,一般>>12C C 。

公式(1)可以简化为:()()()()()()2112311223311.11csR C s R R C G s sR C sR C sR C +++=++ (12)传递函数的零点为1211z R C ω≈,()21231z R R C ω=+;极点为原点,1221p R C ω=,2331p R C ω=。

Type III 补偿器的波特如图 4所示,当频率在ωz1 – ωz2之间,幅度增益近似于常数2120log R R ⎛⎫⎪⎝⎭;当频率在ωp1 – ωp2之间,幅度增益近似于常数132320log R R R R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,最大角度提升(Phase Boost)为180o 。

ω(rad/s)ω(rad/s)Gain(dB)Phase20log(R 2/R 1‐9090o20log(R 2/R 3图 4 Type III 补偿器波特图为了进一步简化Type III 设计,我们设定两个原(极)点频率相隔很近,即:12z z z ωωω≈=,12p p p ωωω≈=。

在这种假定下,Type III 补偿器的近似波特图为:Gain(dB)Phase20log(R 2/R 1‐90o90o20log(R 2/R 3图 5 Type III 补偿器简化波特图类似的,将穿越频率ωc 设定为对数坐标中的中点,即ωωω+=log log log 2z pc ,可得:ω=c(13)定义K 因子(K‐Factor)为:.pzK ωω=(14)由(13)和(14),零极点ωz 、ωp 可写成:.zpc ωω⎧=⎪⎨⎪=⎩ (15)当ωω=c 时,补偿器有的相位为:()112tan 2tan 90.o c c j ϕω--=-- (16)相位提升(phase boost)θBoost 为:()11902tan 2tan o Boost c c j θϕω--=--=- (17)由(17)和(8),可得:2tan .454o BoostK θ⎛⎫=+⎪⎝⎭(18)Type III 补偿器在ωc 处的幅度增益为:121.c c G R C ω=(19)同理,Boost θ为:()90.o Boost vd c m j θϕωϕ=--+(20)3. 如何选择补偿器i.确定开环传递函数补偿器的选择由需要控制的对象决定,这里以Buck 为例:+-V in +-v o图 6 Buck DC ‐DC 电路其小信号传递函数为:()()()()()+==⎡⎤+++++++⎣⎦22221211.in o o vd o o o o sCr V R V s G s d R r R r R r s R r C L Cr s LC (21)假设1O R r 、2O R r ,可将(21)简化为:()()22121.1in vd o sCr V G s L r C r C s s LC R +≈⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦(22)显然,Buck 传递函数有一个由输出电容和其等效串联电阻ESR 决定的零点ωvd_z :_21.vd z Cr ω=(23)将s j ω=代入(22)的分母,()()()2_1_12__2112.vd p vd p vd p vd p oL G j j r r C R u j u ωωωωωωως⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=-+++ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦=-+ (24)其中_vd p ω=。

(24)的幅度和相位分别为: ()()()()24210120log 10log 12.40log 1u G j u u u u ωςς⎧⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎩ (25)()112012tan .18011G o u u j u u ςϕω-⎧==⎨--⎩ (26)一般来说,__vd p vd z ωω<,则Buck 传递函数的波特图为:ω(rad/s)ω(rad/s)Gain(dB)Phase20log(V in ‐180o‐90o图 7 Buck 传递函数的波特图ii. 确定穿越频率ωc穿越频率越高,系统的响应速度越快,但是对开关噪声的衰减降低。

同时根据奈奎斯特采样定理,穿越频率ωc 必须小于开关频率ωs 的一半。

在实际设计中ωc 一般取ωs 的1/5到1/10。

iii.系统稳定条件闭环传递函数在ωc 的幅度增益为0dB ,斜率为‐20dB/dec 。

相位裕量至少45o 以上。

iv.不同条件下的补偿器选择条件A :__2vd p vd z c s ωωωω<<<如图 7所示,Buck 传递函数在ωc 附近的幅度斜率为‐20dB/dec 。

为了让闭环传递函数的幅度斜率为‐20dB/dec ,补偿器的幅度斜率应当为0。

由图 2所示,可以采用Type II 补偿器。

条件B :__vd p c vd z s ωωωω<<<如图 7所示,Buck 传递函数在ωc 附近的幅度斜率为‐40dB/dec 。

为了让闭环传递函数的幅度斜率为‐20dB/dec ,补偿器的幅度斜率应当为+20dB/dec 。

由图 5所示,可以采用Type III 补偿器。

条件C :__vd p c vd z s ωωωω<<< 同条件B ,应当选用Type III 补偿器。

4. 控制电路设计流程i.确定穿越频率ωc理论上,穿越频率ωc 应小于Buck 开关频率ωs 的一半。

实际应用中,ωω<5c s 。

ii. 求解开环传递函数在穿越频率处的幅度增益()ω20log vd c G j 和相位()vd c j ϕω。

iii.确定补偿器增益补偿器的增益应为()()-20log 20log vd c PWM G j V ω+。

其中V PWM 为PWM 的最大振幅。

iv.确定开环传递函数相位裕量一般将相位裕量ϕm 至少设置为45o 。

v.计算K 值根据(9)和(10),或者(18)和(20),计算K 值 vi.计算电阻、电容值如果先确定一个电阻值,比如R 1,那么其他参数也可以确定了。

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