1 2
cj
例题
[例题 ] 长度为 l，横截面积为 s，密度为 ρ 的细棒从如图位置 ， 以零初速落入密度为 ρ 0 ( ρ 0 深度为 h ( h > l ) 的水池中。 < ρ) ，
求细棒下端接触到水池底时的速度。
v f
l x h
v mg
cj
例题
ρgsl − ρ 0 gsx (0 ≤ x ≤ l ) F = mg − f = ρgsl − ρ 0 gsl (l ≤ x ≤ h) A = ∫ Fdx = ∫ ( ρgsl − ρ 0 gsx )dx + ∫ ( ρgsl − ρ 0 gsl ) dx
Fx
m
a b
A=
∫
x1 x0
1 2 1 2 ( − kx )d x = kx 0 − kx1 2 2
O
x0
x1
x0 x1为任意起始位置，与路径无关。
x
cj
例题
[例题]马拉雪橇水平前进，自起点 A 沿某一长为 L 的曲线路径 拉至终点 B。雪橇与雪地间的正压力为FN ，摩擦因数为 µ 。求摩擦力的功。 [解]沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向
L θ
v T v F
v G
cj
例题
F − T sin θ = 0
T cosθ − mg = 0
L θ
F = mg tan θ v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ ds
= ∫ mg tan θ cosθ ds
v T v F
y
= ∫ mgL tan θ cos θdθ
0
θ0
v G
= mgL(1 − cos θ0 )
cj
质点和质点系动能定理
3、 举 例
(1) 内力和为零，内力功的功是否为零？
v v f1=−f 2
∑
v f =0
v f1
A1 = − f 1L
A2 = f 2 S
B A
v f2
B A S L
∑ A = − f 1( L − S )
不一定为零！ (2) 内力的功也能改变系统的动能
例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功 转化为弹片的动能。
cj
例题
(1) 以链条的水平部分为研究对象，设链 条每单位长度的质量为ρ，沿铅垂向下 取Oy 轴。 设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
ρb0 g − µ0 ρ (l − b0 ) g = 0
µ0 b0 = l 1 + µ0
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
cj
例题
v F
F = ( m − dm ) g = ( m − λ y ) g v v dA = F ⋅ dy = (m − λ y) gdy
(2)
m
dm
y
O
A = ∫ (m − λ y ) gdy
y1
y2
= ∫ (10 − 0.2 y ) ⋅ 9.8dy = 882 J 0
cj
10
例题
v v [例题] 用力 F 缓慢拉质量为m 的小球， F 保持方向不变 v 求小球从竖直位置拉伸到θ0 时，F 作的功。xcj 4.3 质点和质点系动能定理
质点和质点系动能定理 一、质点的动能定理
1、质点的动能定理
物体在合力作用下，由a→b
v v v dv v A = ∫ F ⋅ dr = m ∫ ⋅ dr dt v
v dr = m ∫ dv ⋅ dt
v va
a
v dr v F
v vb
b
1 2 1 2 1 1 v v 2 = m ∫ d(v ⋅ v ) = m ∫ d(v ) = mvb − mva 2 2 2 2
z
a
v v F 在 dr 一段上的功： v dA = F dr cos α
v r
v v α dr F
M
v v r + d r O
v v dA = F ⋅ dr
x
b
y
在SI中功的单位为焦耳
1J = 1N ⋅ m
1eV = 1.602 ×10−19 J
量纲 ML2 T −2
cj
力的元功 ·用线积分表示功
Chap04 动能和势能
4.1 能量——另一个守恒量
能量——另一个守恒量
能量概念发展史简介 (1)伽利略对摆的论证——为后人认识机械能守恒开辟一途径。 (2)莱布尼兹提出的物体运动的量与物体速度平方成正比被科 里奥利称为“活力”。 (3)英国物理学家杨（T.Young）(在光的干涉方面作出贡献)将 mv2/2 称作能量。 (4)热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之间的普 遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立。 (5)能量守恒定律的发现最重要的贡献者当推迈耶（M.Meyer）、 焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.Helmholtz）三位伟大 的科学家。
2、说明:
(1)质点的动能定理中的功永远是合力的功。 (2)Ek是状态量∆Ek ↑ ，A > 0 ; ∆Ek ↓ ，A < 0， 动能是物体因具有速度而具有的作功的本领 与过程无关，而功与过程有关。 (3)动能定理只适用于惯性系。
cj
例题
[例题]如图，物块质量m置于粗糙水平面上。用橡皮绳系于墙上， 橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧，现将物 块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放。 求物块击墙的速度。物块与水平面间的摩擦系数为µ.。
= Fx dx + Fy dy + Fz dz
如果为平面运动 dA = Fx dx + Fy dy 若力沿直线位移做功，令x轴与位移重合，则有 dA = Fx dx
cj
力的元功 ·用线积分表示功
2、平面自然坐标
v F
v v dr = dset v v dA = F ⋅ dr
v v v F = Ft et + Fn en
= Fr d r + Fθ r d θ
v Δr
v F
cj
力的元功 ·用线积分表示功
v v P = F ⋅v
直角坐标系：
P = Fx v x + Fy v y + Fz v z
自然坐标系：
P = Ft v
一维运动：
P = Fv
cj
力的元功 ·用线积分表示功 三、力在有限路径上的功
质点 r0 → r1
O s0
s1
v v dr = dset
v et
v v v dA = （Ft et + Fn en） ⋅ dset = Ft ds
cj
力的元功 ·用线积分表示功
3、平面极坐标
v v v v v eθ F = Fr er + Fθ eθ er v v v (r,θ ) dr = drer + rdθ eθ v v O A dA = F ⋅ dr v v v v dA = （ Fr er + Fθ eθ ） （ ⋅ drer + rdθ eθ ）
x O a
m
b x
cj
例题
[解] 弹力只存在于b→a 过程，摩擦力始终存在， 由动能定理有： ( v0= 0 ) x
a 1 2 mv = − µ mgb + ∫ − k ( x − a )d x b 2 1 = k ( b − a ) 2 − µ mgb 2
O
a
m
b x
k 2 ∴ v = （b − a）− 2µ gb m
2 −3
cj
力的元功 ·用线积分表示功 二、利用不同坐标系表示元功
v 1、直角坐标系 F y r1 v v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k ∆y Δr v v v v dr = dxi + dyj + dzk r0 v v d A = F ⋅ dr ∆x x v v v v v v dA = （Fx i + Fy j + Fz k ） （ ⋅ dxi + dyj + dzk ）
3、功率
功率——力在单位时间内所做的功 平均功率 瞬时功率
v v ΔA dA F ⋅ dr v v P = lim = = = F ⋅v Δt →0 Δt dt dt
ΔA P= Δt
v v P = F ⋅v
额定功率——最大输出功率
在SI单位中, 功率单位为瓦特 (W) 1W = 1 J/s
量纲： ML T
v v v dr = dr2 − dr1 v v dA = F ⋅ dr
v dr2 v dr1
v dr
v dr
v d1r
v v v F d2r er
cj
质点和质点系动能定理
2、说明
(1)内力的总功一般不为零。 (2)内力的总功与参考系无关 只与1、2质点相对距离变化有关， 而二质点距离变化与参照系的选择无关。 (3)一对内力所做的功, 只决定于两质点的相对路径。 对非惯性系同样成立。 内力的总功不一定为零！
n
v v A ≈ ∑ Fi ⋅ Δri
i =1
y ∆y r0
v F
v ∆ri → 0 n →∞
v Δr
∆x
r1
v v A = lim ∑ Fi ⋅ Δri
n Δr → 0
r1
A=∫
r0
v v F ⋅ dr
cj
i =1
x
力的元功 ·用线积分表示功
质点受n个力共同作用时 合力
v v v F = F1 + F2 + L r1 v r1 v v v r1 v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + L