高考数学《不等式选讲》专项复习一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,>>⇒>；a b b c a c（2）,c>>⇒+>+；a b d a c b d（3）0,c0>>>>⇒>.a b d ac bd（合成后为必要条件）2.同解变形>⇔+>+；（1）a b a c b c（2）0,0,>⇔>>⇔<<；a b c ac bc c ac bc（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或 （2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a ba b +>>≥a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结核心考点:利用柯西不等式证明解不等式柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R ，2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=. 证明 设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，得cos |⋅=a ba,b a ||b |， 又|cos |1≤a,b ，即1|⋅≤|a b |a ||b |，|⋅≤|a b |a ||b |，故2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，则21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，当且仅当1212nna a ab b b ===（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.证法一：当i a 全为0时，命题显然成立.否则210ni i a =>∑，考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()n n n ii i ii i i f x a x a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且210ni i a =>∑，故()f x 的判别式不大于零，即2221114()40n n ni i ii i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑，整理后得222111()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑.证法二：向量的内积证法. 令12(,,,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212nna a ab b b ⇔===. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.1已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.①求m 的值；②若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.解析 ①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.②由①知111123a b c++=，又,,a b c +∈R ，由柯西不等式得11123(23)()23a b c a b c a b c++=++++29≥+=.2.已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>≤解析 由柯西不等式有()2313131(111)18a b c +++++⋅++=≤.当且仅当==13a b c ===时等号成立.≤3.已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.22θθ+<解析 由柯西不等式及0a >,0b >,0c >,4.设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥.5.已知n *∈N ,且2n ≥，求证：111111172342122n n <-+-++-<-.由柯西不等式有6.已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.7.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

证明：由柯西不等式，得()(),112222b a b a --=于是 122=+b a 。

8.已知12,,,n a a a ……为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n ，有不等式12222111122n a a a n n+++≥+++…………。

证明：由柯西不等式：又因为12,,,n a a a ……为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不9.设a,b,c 为正数且不相等到，求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 证明：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=()2111++，()()()()a c c b b a c b a +++++=++2 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。

因为a,b,c 各不相等，∴ 等号不可能成立，从而原不等式成立。

10.设R d c b ∈,,,a ,且5632a 3,d c b a 2222=+++=+++d c b ，求证：21≤≤a解：由3d a =+++c b 则 a d c b -=++3 由2222563b 2a d c -=++即 ()()22315a a -≥•-故 21≤≤a11.已知b a ,+∈R ，1=+b a ,,,21+∈R x x 求证：()()212121x x ax bx bx ax ≥+•+分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。

若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：()()2121ax bx bx ax +•+ ＝()()1221bx ax bx ax +•+＝()21212x x x x b a =+ 。