2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷（七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共，40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}{}25,3,2,1,2,4A x x B A B =<=--⋂=，则 A. {}22-，B. {}22-，1，C. {}21,3,2-，D.5,5⎡⎣2．i 为虚数单位，复数2112iz i i+=++-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A.iB. 2i -C. 2-D.13．设,a b 是非零向量，“0a b ⋅=”是“a b ⊥”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在()6132x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A ．152-B.152C ．52-D ．525．函数()1cos sin 1x x e f x x e ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为6．设0.32111log ,432a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭则有A ．a b ab +>B ．a b ab +<C ．a b ab +=D ．a b ab -=7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。
“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V ，求这个球的直径d 的近似公式，即3169d V ≈．随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式．若取 3.14π=，试判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 32d V ≈B. 3169d V ≈C. 32011d V ≈D. 32111d V ≈8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为 A ．114B ．94C ．52D ．54二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是A ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B ．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程0.110y x =+中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位10．线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2,1AB AD EF ===．则A ．DF ∥平面BCEB ．异面直线BF 与DC 所成的角为30° C ．△EFC 为直角三角形D ．1:4C BEF F ABCD V V --=：11．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，下列关于()f x 结论正确的是 A ．cos12f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的一个周期是2πC ．()f x 在()0,π上单调递减D ．()f x 的最大值大于212．已知直线2y x =-+分别与函数ln xy e y x =和=的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是 A ．122x x +=B. 122xxe e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122ex x >第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知()sin cos tan 2sin cos ααπααα+-==-，则__________．14．在平行四边形ABCD 中，6,3,.AD AB ==1160,,22DAB DE EC BF FC ∠===2FG GE =若，则=AG BD __________. 15．5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________．(用数字作答)；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)(本题第一空2分，第二空3分)16．设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，___________，DC=2在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分) ①234,sin 3AB BC ACB =∠=；②tan 36BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭；③2cos 23BC ACB AC AB ∠=-(I)求DAC ∠的大小；(Ⅱ)求△ADC 面积的最大值．18．(12分)如图1，四边形ABCD 为矩形，BC=2AB ，E 为AD 的中点，将△ABE 、△DCE 分别沿BE 、CE 折起得图2，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ． (I)求证：平面ABE ⊥平面DCE ；(II)若F 为线段BC 的中点，求直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值．19．(12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和()1,2n n n a a S n N *+=∈． (I)求数列{}n a 的通项公式a n ； (Ⅱ)设22log 1n n n a b a +=+；若称使数列{}n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S ．20．(12分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和．2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：(I)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X 元，求X 的分布列；(Ⅱ)若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；(Ⅲ)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由．21．(12分)已知点F 为椭圆22198x y +=的右焦点，点A 为椭圆的右顶点． (I)求过点F 、A 且和直线9x =相切的圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 任作一条不与x 轴重合的直线l ，直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与直线9x =相交于点M ，N ．试证明：以线段MN 为直径的圆恒过点F ．22．(12分)已知函数()ln f x x a x =-．(I)若曲线()(),1y f x b a b R x =+∈=在处的切线方程为30x y +-=，求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()()()1a g x f x a R x+=+∈的极值点； (Ⅲ)设()()()1ln 0x xh x f x ae a a a a=+-+>，若当x a >时，不等式()0h x ≥恒成立，求a的最小值．数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—4：BCCA 5—8：CADB二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9.CD 10.BD 11.ABD 12ABC 三、填空题（每小题5分，共20分）13.1314.21 15.7231016. 3,22⎛⎝⎭（注：15题第一个空2分，第二个空3分）.四、解答题17.（10分）（I ）解：若选①在ABC ∆，由正弦定理可得：sin sin AB BCACB BAC=∠∠ ………………………………………………………………………………………………1分 又234,sin 3AB BC ACB =∠=可得：1sin ,26BAC BAC π∠=∴∠=………………3分 又23AB AD BAD DAC ππ⊥∠=∠=所以，所以；…………………………………4分（II ）在=2ACD DC ∆中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥…………………………………………6分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”若选择②（I ）由tan 6BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭6BAC π∴∠=，………………………………2分 又AB AD ⊥所以23BAD DAC ππ∠=∠=，所以；…………………………………4分（II ）在2ACD DC ∆=中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥…………………………………………6分即4AC AD ≤……………………………………………………………………………8分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”.若选③（I ）2cos 2BC ACB AC ∠=，由正弦定理得：2sin cos 2sin BAC ACB ABC ACB ∠∠=∠∠………………………………1分()2sin cos 2sin BAC ACB ABC BAC ACB ∠∠=∠+∠∠可得：cos 26BAC BAC π∠=∠=，………………………………………3分 又AB AD ⊥所以23BAD DAC ππ∠=∠=，所以；………………………………4分（II ）在2ACD DC ∆=中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥………………………………………6分即4AC AD ≤…………………………………………………………………………8分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”18.（12分）解：（I ）证明：在图1中，BC=2AB ，且E 为AB 的中点，,AE AB AEB ∴=∴∠45︒=，同理45DEC ∠=所以90CEB BE CE ∠=∴⊥，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ⋂平面BCE BE =，所以CE ⊥平面ABE ，……………………………………………………………………4分 又CE DCE ⊂平面，所以平面ABE ⊥平面DCE ……………………………………5分 （II ）由题意可知以E 为坐标原点，EB,EC 所在的直线分别为,x y 轴轴建立空间直角坐标系，设1AB = 则()()()2222220,0,0,2,0,0,0,2,0,,0,,0,,0222222E BC AD F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， ………………………………………………………………………………………………6分向量2222,0,,0,,2222EA ED ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =由00100n EA x z z y z n ED ⎧=+=⎧⎪=⎨⎨+==⎩⎪⎩得，令， 得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n =--，…………8分 又220,,22FA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭…………………………………10分 设直线FA 与平面ADE 所成角为θ， 则26sin 313FA n FA nθ===⨯ 直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值为63……………………………………………12分 19.（12分）解：（I ）由数列{}n a 的前()12n n n a a n S +=和知 当()1111111=,2a a n S a S +==时， ()111100a a a ∴-=>，又，所以11a =…………………………………………………2分当()()111111,22n n n n n n n a a a a n a S S ---++>=-=-时 整理得：()()1110n n n n a a a a --+--=因为10n n a a -+>，所以有11n n a a --=…………………………………………………4分所以数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=…………………………………………6分 （II ）由n a n =知：22+22log log 11n n n a n b a n +==++ 数列{}n b 的前n 项和为12322223452log log log log 2341n n b b b b n ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++ ()223452log log 212341n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+- ⎪+⎝⎭………………………………………8分令()123n b b b b k k Z +++⋅⋅⋅=∈ 则有()12log 21,22k n k n ++-==-由()0,2020,10n k Z k k N *∈∈<∈知，且……………………………………………10分 所以区间()0,2020内所有“优化数”的和为()()()()2341022222222S -=-+-+-+⋅⋅⋅+-()()29234101121222221818222202612-=+++⋅⋅⋅+-=-=-=-………………12分20.（12分）解：（I ）由题意知：120020100023000,120015100017000⨯-=⨯-=， 90020100017000,90015100012500⨯-=⨯-=，所以X 的所有可能取值为：23000，17000，12500……………………………………1分 设A 表示事件“作物产量为900kg ”，则()0.5P A =； B 表示事件“作物市场价格为15元/kg ”，则()0.4P B =.则：()()()()2300010.510.40.3P X P A B ===--=……………………………6分()()()()()1700010.50.40.510.40.5P X P A B P A B ===+=-+-=………3分()()125000.50.40.2P X P A B ===⨯=，…………………………………………4分所以X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………5分 （II ）设C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”， 则()()()()1600023000170000.30.50.8P C P X P X P X =>==+==+=，…6分 设这三年中有Y 年的纯收入不少于16000元，则有：()~3,0.8Y B ………………………………………………………………………7分 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为()33223320.80.80.20.896P P Y C C =≥=⨯+⨯⨯=.…………………………………9分（III ）由（I ）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为()230000.3170000.5125000.217900E X =⨯+⨯+⨯=（元）…………………10分1790040004>……………………………………………………………………………11分 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫。