931 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域解 积分区域可表示为{(x y z )| 0z xy 0y 1x0x 1}于是 ⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx I 01010),,((2)由曲面z x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdzz y x f dy dx I(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dzz y x f dy dx I提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1(4)由曲面cz xy (c 0) 12222=+by a x z 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a ab y cxy z z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adzz y x f dy dx I 000),,(22提示区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 02 设有一物体占有空间闭区域{(x yz )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z 计算该物体的质量 解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=110)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x3 如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x y z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z )f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x bc yd l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωml dc ba dzz f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321证明 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c ml ]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f ba dc ml]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=mldcbadx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d c ml b a dz z f dy y f dx x f )()()(3214 计算⎰⎰⎰Ωdxdydzz xy 32 其中是由曲面z xy与平面y x x 1和z 0所围成的闭区域解 积分区域可表示为{(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxydy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x5 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0x y z 1所围成的四面体解 积分区域可表示为{(x y z )| 0z 1x y 0y 1x0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1⎰⎰--++=xdy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=提示⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 1010210])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=6 计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz其中为球面x 2y 2z 21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域 解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x于是 ⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=7 计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域解 积分区域可表示为{(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221xdy y xdx 0)1(61116=-=⎰-dx x x8 计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz其中是由锥面22y x Rh z +=与平面z h (R 0 h 0)所围成的闭区域解 当0z h 时过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面截得立体的截面为圆D z 222)(z hR y x =+ 故D z 的半径为zhR 面积为222z h R π 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz⎰⎰⎰zDhdxdy zdz 0⎰==hh R dz z h R 0223224ππ9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωzdv其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 021 222ρρ-≤≤z于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(153=--=⎰d(2)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 022222≤≤z ρ于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=221203202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d10 利用球面坐标计算下列三重积分 (1)⎰⎰⎰Ω++dvz y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为 020r 1于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=(2)⎰⎰⎰Ωzdv其中闭区域由不等式x 2y 2(z a )2a 2x 2y 2z 2 所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰11 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωxydv其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ于是 ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ别解 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x (2)⎰⎰⎰Ω++dvz y x 222 其中是由球面x 2y 2z 2z 所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 022020sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d(3)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d d πρρρπ8)255(223=-=⎰d(4)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中闭区域由不等式Az y x a ≤++≤<2220z 0所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为 Ar a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z 6x 2y 2及22y x z += 解 在柱面坐标下积分区域可表示为 022z 62于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=232332)6(2πρρρρπd(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分) 解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 2024020sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰(3)22y x z +=及z x 2y 2 解 在柱面坐标下积分区域可表示为 0212z 于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V(4)225y x z --=及x 2y 24z 解 在柱面坐标下积分区域可表示为22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z于是 ⎰⎰⎰-=225412020ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd13 球心在原点、半径为R 的球体在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ在球面坐标下积分区域可表示为 020r R于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 222400220sin R k dr r kr d d Rπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰。