重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：
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课题：
第五节 平面及其方程
教学目的及要求：
介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：
1.平面方程的求法
2.两平面的夹角 教学难点： 平面的几种表示及其应用 教学步骤及内容 ：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程
已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量
},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即
00M M ⋅=u u u u u u r
n
代入坐标式，有：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
（1）
此即平面的点法式方程。

旁批栏：
3
4 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。

解：先找出这平面的法向量n ，
k j i k j i
n -+=----=⨯=9141
3
26433121M M M M
由点法式方程得平面方程为
0)4()1(9)2(14=--++-z y x
即：
015914=--+z y x
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为：
0=+++D Cz By Ax
几个平面图形特点：
1）D ＝0：通过原点的平面。

2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。

同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。

旁批栏：
5
6
解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D
由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ，
{4,1,2}⊥-r Q n 024=+-∴C B A C B A 3
2-==⇒
所求平面方程为0322=-+z y x
三、两平面的夹角：
定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面0:11111=+++∏D z C y B x A ，0:22222=+++∏D z C y B x A
},,{1111C B A n =ρ， },,{2222C B A n =ρ
按照两向量夹角余弦公式有：
2
2
2
22
22
12
12
1212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111C B A =n 和
},,{2222C B A =n
1) 两平面垂直：0212121=++C C B B A A
（法向量垂直）
2) 两平面平行：2
1
2121C C B B A A == （法向量平行）
3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),,(0000z y x P ，平面的方程为 0=+++D Cz By Ax ，则点到平面的距离为
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：
013,
012)1(=-+=+-+-z y z y x 旁批栏：
7
解：(1) 60
13
1)1(2)1(|311201|cos 2
2
2
2
2
=
+⋅-++-⨯-⨯+⨯-=
θ，两平面相交，夹
角60
1
arccos =θ；
(2) }1,1,2{1-=n ρ，}2,2,4{2--=n ρ
2
1
2142-=
-=-⇒，两平面平行 ． 21
)0,1,1()0,1,1(∏∉∏∈M M Θ，所以两平面平行但不重合。

（3）2
1
2142-=
-=-Θ
两平面平行
21)0,1,1()0,1,1(∏∈∏∈M M Θ 所以两平面重合．
小结与思考：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。

两平面的夹角以及点到平面的距离公式。

作业：见作业本7.5
旁批栏：
8。