循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.17的“秘密” 10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推导以下算式⑴10.19=&；1240.129933==&&；123410.123999333==&&；12340.12349999=&&； ⑵121110.129090-==&；12312370.123900300-==&；123412311110.123490009000-==&； ⑶ 1234126110.123499004950-==&&；123411370.123499901110-==&& 以0.1234&&为例，推导1234126110.123499004950-==&&． 设0.1234A =&&，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =&&； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =&&， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 纯循环小数 混循环小数分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母 n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，……例题精讲 知识点拨教学目标循环小数的计算模块一、循环小数的认识【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

)【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，1试【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007••【答案】l.80524102007••【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1998••，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998•．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998••，而次大数为0.1998••，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998•••••••>>>【答案】0.19980.19980.19980.1998•••••••>>>【例 2】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 1=0.1428577&&， 27=0.285714&&，37=0.428571&&，47=0.571428&&，57=0.714285&&， 67=0.857142&&．因此，真分数7a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a &，即6a =． 【答案】6a =【巩固】 真分数7a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们知道形如7a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。

()903912457833421÷+++++=L ，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67，所以6a =。

【答案】6a =【巩固】 真分数7a 化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们知道形如7a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=L L ，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。

【答案】3a =【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是 ．【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 60.8571428571427=……6个数一循环，20096334÷=……5，是4 【答案】4【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+ (2002)______ 。

【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】小希望杯，4年级【解析】 0.6+0.06+0.006+……=0.6&=6293==2002÷3003 【答案】3003【例 4】 下面有四个算式： ①0.6+0.....1330.733;=②0.625=58； ③514+32=35142++=816=12； ④337×415=1425； 其中正确的算式是（ ）.（A ）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确； ② 0.625=58是正确的； ③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过32﹥12即可判断出其不正确； ④ 337×145=247×215=725=2145，所以④不正确。

那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。

【答案】B【例 5】在混合循环小数2.718281&的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，初赛【解析】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281&&。

【答案】2.718281&&【例 6】将12化成小数等于0.5，是个有限小数；将111化成小数等于0.090…，简记为0.09&&，是纯循环小数；将16化成小数等于0.1666……，简记为0.16&，是混循环小数。

现在将2004个分数12，13，14，…，12005化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试【解析】凡是分母的质因数仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个. 【答案】801模块二、循环小数计算【例 7】计算：0.30.030.003--=&&&（结果写成分数形式）【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】原式11189 330300300 =--=。

【答案】89 300【巩固】计算：0．3+0．3&=_____(结果写成分数)。

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】原式=3119 10330+=【答案】19 30【巩固】请将算式0.10.010.001++&&&的结果写成最简分数．【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】华杯赛，初赛【解析】 原式11110010111137990900900900300++=++===. 【答案】37300【例 8】 计算: 2.004 2.008⨯&&&（结果用最简分数表示） 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，一试【解析】 原式＝481804200636188249047065606224900999900999899100224775224775⨯=⨯=== 【答案】56064224775【例 9】 将4255.4250.6350.63999⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭&&的积写成小数形式是____. 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】华杯赛，初赛【解析】 ()59994250.63425341465.4250.6350.63 3.41809999999990⨯+⨯⎛⎫⨯=⨯=== ⎪⎝⎭&&&& 【答案】3.4180&&【例 10】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& 1121232343787898909090909090-----=+++++ 11121317181909090909090=+++++= 216 2.490= 方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++&&&&&&=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)⨯& 12.12790=+⨯ 2.10.3 2.4=+= 【答案】2.4【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& （2）0.3300.186⨯&&&& 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+6663301999990=+= （2）原式3301861999990-=⨯330185999990⨯=⨯581= 【答案】（1）1 （2）581【例 11】 ⑴ 0.540.36+=&&&⑵191.21.2427•••⨯+= 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴ 法一：原式5453649489990999011990-=+=+=． 法二：将算式变为竖式：可判断出结果应该是··0.908，化为分数即是9089899990990-=． ⑵ 原式224191112319201199927999279=⨯+=⨯+= 【答案】⑴899990 ⑵209【巩固】 ⑴计算：0.160.1428570.1250.1+++&&&& ⑵191.2 1.2427⨯+=&&&________． 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1试 【解析】 ⑴ 原式161142857111001099999989-=+++-11112756789504=+++=； ⑵ 原式224191112319201199927999279=⨯+=⨯+=． 【答案】⑴275504 ⑵209【巩固】 ⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭； ⑵ ()2.2340.9811-÷&&&& (结果表示成循环小数) 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴原式1512182311909909111--⎛⎫=+⨯⨯ ⎪⎝⎭371111123456790.01234567999311181999999999=⨯⨯===&& ⑵23422322.23422990990-==&&，980.9899=&&，所以23298242222.2340.982119909999090-=-==&&&&， ()22122.2340.98111110.090.020.113901190-÷=÷=+=+=&&&&&&&&& 【答案】⑴0.012345679&& ⑵0.113&&【例 12】 0.30.030.0032009+++=÷L L （ ）。