第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布 B(N, p) , O ： P : 1 , X 1,X 2…X n是其一个样本，那么矩估计量?X- N —X i _，样本的似然函数n亠— X i“J^X i为』P 〈-P) ‘―。

i =1i∣122n1-—j (X ^M )似 然函数 L(X I )XrL,X n ；巴＜τ) =_□2&id √2πσ、计算题1、设总体 X 具有分布密度f(x;1)x[ O . x ： 1，其中〉-1是未知参数,求未知参数'的矩估计；(2)求’的极大似然估计2、设总体X 〜B(1,p)， 其中未知参数O ::： P ::： 1 ,X l ,X2…,X n 是X 的样本,3、设X 1,X 2,…，x n 是来自总体X ~ Ngf 2)的2样本，则有关于亠及匚X 1,X 2,…X n 为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计1解：因 E(X)= o x(α 1)X a dX1 -I d=o (α 1)x αdx =α 1 a ∙211 α ' 1α ■ 2x l θ一 α ■ 2令 E(X)=X=α 22X —1.α =1为〉的矩估计1 -X因似然函数 L(x 1,x 2,…x n 「)=G ∙1)n (x 1x√ X n )InIn L =n ln( α 1) Q ln X i ,由i#n…二 In X i=O 得,iTn：■的极大似量估计量为 ? = -(V-)二 In X ii d2、设总体X 服从指数分布f(x) =e ,x O10,其他X 1,X 2∕ X n 是来自X 的样本，(1)n g "2疔=(2w 2F e iJ^4、设总体X 服从泊松分布P('), X 1,X 2,…，X n 为取自X 的一组简单随机样本，(1)求 未知参数■的矩估计；(2)求’的极大似然估计.解：(1)令E(X)- ■ - X= ? = X ,此为■的矩估计。

n∑X -i± e 』，nII Xi!i T1解：(1)由于E(X),令1■==，故，的矩估计为，？=丄λX X(2)似然函数 L(x 1,x 2,…，x n) = ■ nen_、X inIn L = n In ■ - ■X ii 4d In L n * CX i =O = d /. i _4nn'7 Xi 4故■的极大似然估计仍为23、设总体X ~ N 0, C 然估计；1 OX,X 1,X 2, ,X n 为取自2X 的一组简单随机样本，求二的极大似于是InL=一訓2」1^=2y 2匚2d I n L d ；「2令至 d 匚I nL=O ,得二2的极大似然估计:I n」X i 2. n i 吕(2)似然函数 L(X ll X 2√ I X n)=n nIn L=X X i In , _ n , - x 'i ±i dn∑ X id In L J ----- _ n = 0 二,= In X i !故■的极大似然估计仍为 X 。

均值的无偏估计，则?2 —最有效.2、设X 1,X 2,…X n 是取自总体N(0,l 2)的样本，则可以作为匚2 的无偏估计量是(A ).I nA 、―、X i 2n Vc 、-∑ X in i J、计算题1、设X 1 ,X 2,…X n 为从一总体中抽出的一组样本,1 n总体均值」已知，用—— (X i -J)2 n -1 i=1去估计总体方差 C 2 ,它是否是二2的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计解：因 E[-^Σ (X i —門2]E(X i -P)2n — 1 i 1 n — 1 yn宀二2n -1-Vn (X i-J 2不是二2的无偏估计 n -1 i 吕1 n2 2但一Σ (X i -巴是▽的无偏估计 n i 122、设X 1,X 2,…X n 是来自总体N( )的一个样本，若使 n -1、(X i 1 -X i )2为匚2的无i d偏估计，求常数 C 的值。

解：n 4n ；E[C 、(X i 1 -XJ 2] =C' [E(X i 1 - X i )2]izti¥ n 4=C' [EX i 21 EX i 2-2EX i 1EX i ]i J n -1=C' [" •二2」2•二2 -2」2]i T2 21 = 2(n _ 1)^ -= C =2(n —1)第七章参数估计----点估计的评价标准一、填空题1、 设X 1,X 2,X 3是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量1 3 1 1 1 5X 3135X 1 10X 2 2X 3,u 2=3X 1 4X 2 123,u3=3X 1 4X3'：2 - 1 X 3都是总体412第七章参数估计----区间估计、选择题1、设总体X ~N(∙if 2), C 2未知，设总体均值么I 与a 的关系为(A ).A 、a 增大，I 减小 c 、a 增大，I 不变2、设总体X~N()Q 2),且匚2已知，现在以置信度 一定能使估计更精确的是(C ).A 、提高置信度1 - : •,增加样本容量B 、提高置信度1 - : •,减少样本容量C 降低置信度1 - : •,增加样本容量D 、降低置信度1 - : •,减少样本容量二、计算题1、 设总体X ~ N(∙I ,0.92),当样本容量n =9时，测得X =5 ,求未知参数的置信度为0.95的置信区间.解：的置信区间为(X -Z I X Z )"2J n"2 7nCt =0.05 n = 9 Cr =0.9 X =5Z 0.05=1.962•I 的置信区间为(4.412,5.588)。

22、 设总体X ~ N C-^-),已知厂-；「0,要使总体均值 丄的置信水平为1 -:的置信区间的长度 不大于L ,问需要抽取多大容量的样本。

—O" C —CT-解：J 的置信区间为(X -Z 一. • - I X ■ Z -.)，2■ n2，n3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径 从某批产品里随机抽取 6件，测得它们的直径(单位：mm)为： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1,置信度 1「一2(1)- 已知，J的置信度1 -:-的置信区间长度I ,那B 、a 增大，I 增大 D 、 a 与I 关系不确定1 ~ :•估计总体均值∙1 ,下列做法中 2Z ：L 2X ~ N(V 2),现2■-的置信区间为0.95(即:-0.05)(1)若二2=0.06 ,求」的置信区间⑵若二2未知，求J的置信区间2(3)求方差二，均方差匚的置信区间.Ot代入则得J 的置信区间(14.75,15.15)(2)二2未知，则」的置信区间为(X -t..2查表得S =2.5706,代入得4的置信区间为(14.71,15.19)2(n -1)S 22 σ2J -0.05, n =5 代入得二 的置信区间为：(0.0199,0.3069)。

均方差二的置信区间为(「0.0199, 0.3069) = (0.1411,0.2627) 4、设从正态总体X 中采用了 n = 31个相互独立的观察值，算得样本均值 X =58.61及样本方差 S 2=(5.8)2,求总体X 的均值和方差的 90%的置信区间解：1 — α = 0.9,= = 0.05,1 —巴=0.95, n = 31,s= 5.8, t0 05(3O) = 1.69732 2.J的90%的置信区间为 :(X _L.(n-1)S) = (56.84, 60.38)2J n瞪.05 (30) = 43.770295(30) =18.49，S 2= 33.64二2的(1-a) %的置信区间为C22(n - 1)s 2(n - 1)s 2/ ?(n-1) ' /：_尹(n -1)30 33.64230 33.8 CC , 2< C <23.1 VCr 2：：即43.7718.49.c 2的90%的 置 信 区 间为:(23.1 , 54.6)5、设某 种灯泡 的 寿 命 X 服从正态分布N( J ,Cr 2),卩,Ci 2未知，现从中 任取 5个灯泡进 行 寿 命测试(单位:1000 小 时)，得：10.5 , 11.0 , 11.2 ,12.5 , 12.8 ,SXt.——),n = 5, ： = 0.05 亍■.n~ 2(n-1)的置信区间((n -1)S 22( n") 2(n 一1)S2： _](n-求方差及均方差的90%的置信区间.x=^ X i =11.6,S^-^ (X i —X)2 35i4 4y1「——0.9, 0.05,10.95,n -1 =42 2x ：.05(4) =9.488, x ：.95(4) =0.711 .C 及匚的90%的置信区间为(0.419,5.598) 及(•. 0.419,一 5.598) = (0.647,2.366)6、二正态总体N(」1 , ^12) , N( • 2 , P 2)的参数均未知，依次取容量为 ∏1=10 , n 2=11的二独 立样本，测得样本均值分别为 χ1=1.2,x 2=2.8 ,样本方差分别为S 12 =0.34,S ∣ =0.29,(1)求二总体均值差 叫…P 的90%的置信区间。

(2)求二总体方差比 90%的置信区间。

“a解：1-： =0.9,-0.05, ∏1-1=9, ∏2-1=10229 034+10 0 29(1)丈= ----------------- = 0.3137 , t °05(19) = 1.729，19叫「亠2的90%的置信区间为(1.2 —2.8 —1.729 √0.3137 + * ,1.2 — 2.8 + 1.729= (-2.0231,-1.1769)(2) F 0.05 (9,10)=3.022 2二1 Λ^2的90%的置信区间为F 0.95(9,1O)=1 F °.05(10,9)1 3.14S 1 S 220.340.29 = 1.17解: = 0.99545=0.419,459.488 0.711= 5.5981(1.17 ,1.17 3.14)=(0.39,3.67)3.02。