线性规划的数学模型及其标准形式
线性规划问题是工作和生活中最常见的问题，也是运筹学中最简单和最基础的问题。

因此，研究现线性规划在经济中的应用问题必须对线性规划的概念和数学模型的掌握和了解是十分必要的。

下面让我们对线性规划的数学模型加以介绍。

线性规划的数学模型
在许多实际问题中总是存在着已知量和未知量，若将这些量之间的依赖关系用数学式子表示出来，那么就称这些式子为实际问题的数学模型，或者说数学模型就是描述实际问题共性的抽象的数学形式，线性规划的数学模型包含两个组成部分，一是目标函数，二是约束条件，目标函数是一个由欲达到最优目的的有关量所构成的关系式，根据研究的目标是最大还是最小，在目标函数前面冠以“max ”或“min ”；约束条件是欲达到预期目的所受到的现实客观环境的制约，将这种制约用不等式或不等式表示，即为约束条件，以后减记..s t ；是“subject to “的缩写。

研究数学模型有助于认识这类问题的性质和寻求它的一般解法，但线性规划问题涉及到的实际问题是非常广泛的，我们只能先从其中某些典型的实际问题开始，不能面面俱到，但这些问题的做法都是类似的，下面我们通过例题研究线性规划的数学模型。

例 1 某工厂有生产甲，乙两种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有工人12人一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进12吨，并且还知道生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。

那么，这个工厂在一个月中应如何根据现有条件安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立数学模型。

解：设1x ，2x 分别表示一个月生产甲，乙两种产品的数量，则最大盈利为：
1280S x x =+
工日的约束为1234300x x +≤，原料小麦的约束为120.350.2521x x +≤，那么该问题的数学模型即为：
12121212m ax 8090,..
34300,0.350.2521,,0
S x x s t x x x x x x =++≤+≤≥
例 2 假定市场上可以买到各种不同的食品，且第j 种食品每单位售价j c （元）。

现在要求考虑m 种基本营养成分，若要保证良好健康，对第i 种营养成分，每人每天不能少于i b 个单位。

最后假定第j 种食品每单位含有ij a 个单位的第i 种营养。

在满足保证良好健康的起码营养要求的条件下，来确定最经济的饮食，建议这一问题的数学模型。

解：设i x 为购买第j 种食品的单位数，设S 为购买食品的总费用。

于是，这问题的数学模型为：
11221
11112211211222
22
1122
m i n ..
0(1,2,,)
n
n n j
j
j n n n
n m m m n n m
j S c x c x c x c
x s t a x a x a x b a x a x a x b
a x a x a x
b x j n ==+++=+++≥+++≥+++≥≥=∑
以上这些是从实际问题中建立起的数学表达式，如果约束条件是由一些线性不等式或线性方程组成，而且目标函数是欲求未知变量线性函数的一类条件机制问题，则通称为线性规划问题。

性规划问题的数学模型，在模型的约束条件中除了非负约束外，还存在着“≥”，“ ≤”和“=”三种情况，特别是遇到“≥”，“ ≤”号时，在研究线性规划问题的性质和求和问题过程中都会带来困难，所以必须将各种形式的线性规划问题化为等价的标准形式，下面我们来了解化为等价的标准型的数学模型。

形如：
112211112211211222221122m in ..
0(1,2,,)
n n
n n n n m m m n n m
j S c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n =++++++=+++=+++=≥=
这种形式称为线性规划的标准形式。

其中,,i j ij b a a 均为常数（实数），且0i b ≥（如不然，可将那个等式遍乘-1）。

j x 是要确定的实数。

所谓线性规划问题的标准形式（标准型）应具备以下四点： （1） 目标函数是求最小值（也可以把目标函数定为求最大值）；
（2） 在约束条件中，除了非负约束用“≥”号外，其它所有约束条件均用等式
（或方程式）表示；
（3） 每个约束方程的常数项均是非负的(0)i b ≥； （4） 所有未知量受非负限制。

下面我们了解一下将线性规划模型转化为标准型的基本方法。

①若目标函数为求最大值，即maxZ ，责令f=Z ，将原问题转化为在相同约束条件下的minf 。

②约束条件中具有不等式约束'ij j i i a x x b +≤∑，则引入新变量x 1使不等式约束条件转化为下列两个等式的约束条件，即
''
,0ij
j i i i a
x x b x +=≥∑ 称变量'
i x 为松弛变量。

③若约束条件中具有不等式约束ij j i a x b ≥∑，则引入新变量''i x ，使不等式约束条件转化为下列两个等式的约束条件，即
'''',0ij
j i i i a
x x b x -=≥∑ 称变量x i ，，
为剩余变量。

④若约束条件中出现j j x h ≥（j h ≠0），则引入新变量i j j y x h =-替代原问题中的变量j x ，于是问题中原有的约束条件j j x h ≥j 。

就化为新约束条件i y ≥0. ⑤若变量j x 的符号不受限制，则可引进两个新变量'i y 和''i y ，并以'''j i i x y y =-带
入问题的目标函数和约束条件消去j x ，同时在约束条件中增加'i y ≥0，''i y ≥0两个约束条件，称变量'i y 和'i y 为自由变量。

建立数学模型便于研究对线性规划问题中的应用，可以解决很多不必要的麻烦，在实际问题中有很大的好处。

下面我们来介绍数学模型的实例。

例1 将线性规划
1212121212m ax 25..
23123743,0
x x s t x x x x x x x x ++≤-+≥-=≥
化为标准形式。

解：⑴令12(25)f x x =-+；
⑵引入变量34,x x ，并令234x x x =-，其中34,0x x ≥
⑶引入松弛变量x 5和剩余变量x 6,则原问题转化为标准形式，即
12
12451346124m in 25..
233123774223
f x x s t x x x x x x x x x x x =-+-+=-+--=-+=
j x ≥，j =1，2，3，4，5，6.
例 2 化
1212121212m in 97,..
45634728,0
S x x s t x x x x x x x x =++≥+≥+≥≥ 为标准型。

解：（1）令1297f x x =+
（2）依次引入剩余变量345,,x x x 得标准形式为：
1212312412512345m in 97..
45634728,,,,0
f x x s t x x x x x x x x x x x x x x =++-=+-=+-=≥
这是一些基本而又简单的数学模型，这对于了解线性规划有重要的意义，。