2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．一飞机沿抛物线路径 (y轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O处飞机速度v=200 m·s-1，飞行员体重G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点O处时，座椅对飞行员的反力.
解： ，
飞行员在飞机俯冲时受到的向心力
(牛顿)
故座椅对飞行员的反力
15．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：
(1)y=：y′=a即为边际函数.
弹性为： ,
增长率为： .
(2)y=aebx；
解：边际函数为：y′=abebx
弹性为： ,
增长率为： .
(3)y=xa
解：边际函数为：y′=axa－1.
弹性为： ,
增长率为：
16．求下列函数的定义域
;
解：原式=
.
解：原式=
11．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？
解：所需电线为
13题图
在0<x<3得唯一驻点x=1.2(km)，即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短.
12．试问a为何值时，函数 在 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解： ，
，
故
且当t=t0时， .
18．求下列函数的高阶微分：
⑴ ，求 ；⑵ ，求 ；
⑶ ，求 ；⑷ ，求 ；
⑸ ( 为常数)，求 .
解：⑴ ,
⑵
故
⑶由莱布尼兹公式，得
⑷由莱布尼兹公式，得
⑸
两端求导，得
等式两端再求导得
解得
故
19．在括号内填入适当的函数，使等式成立：
⑴ ；⑵ ;
⑶ ；⑷ ;
⑸ ;⑹ ；
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，
．
7．已知 ,其中 求C.
解：
所以 .
8．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：
;
解：原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：原式= .
验证：
所以，结论正确.
;
解：原式=
;
解：原式=
;
解：原式
;
解：原式=
;
解：原式=
又
故原式= .
10．利用基本积分公式及性质求下列积分：
;
解：原式 .
；
解：原式=
解：原式=3
解：原式=
;
解：原式=
解：原式=
解：原式= .
解：原式= .
解：原式= .
解：原式=
解：原式=
;
解：原式=
解：原式=
解：原式= .
；
解：原式= .
;
解：原式= .
则 ，
则过 点的切线方程为：
令
得切线与x轴的交点为 ，
令
得切线与y轴的交点为 ，
故
23．求下列函数在 处的左、右导数，从而证明函数在 处不可导.
(1)
证明：
因 ，故函数在 处不可导.
(2)
证明：
因 ，故函数在 处不可导.
(3)
证明：
因 ，故函数在 处不可导.
24．设函数
为了使函数 在 点处连续且可导， 应取什么值？
解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(4)要使函数有意义,必须
即
即 或 ,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是 ,k为整数.
17．求曲线x=acos3t，y=asin3t在t=t0处的曲率.
⑺ ;⑻ .
解：
⑴
.
⑵
.
⑶
.
⑷
.
⑸
.
⑹
.
⑺
.
⑻
.
20．设 是由方程组
所确定的隐函数，求 .
解：分别对已知方程组的两边关于 求导，得：
再对 求一次导，得
将 代入上述各式，得
21．求自由落体运动 的加速度.
解：
即为加速度.
22．证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 .
证明：在双曲线上任取一点
(牛顿).
2．将 展开成(x+4)的幂级数．
解：
而
又
所以
3．证明，若 收敛，则 绝对收敛．
证：∵
而由 收敛， 收敛，知
收敛，故 收敛，
因而 绝对收敛．
4．写出下列级数的一般项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
5．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？
26．下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：
解：
是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义 ，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.
当 时， .
为可去间断点，分别补充定义f(0)=1, ，可使函数在x=0,及 处连续.( );
解：f(x)为可导函数，故在 处取得极值，必有
，得a=2.
又 ，
所以 是极大值点，极大值为 .
13．设 ,求常数 , 的值.
解：要使 成立，则 ,即
又
得
14．把宽为τ，高为h，周期为T的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.
解：根据图形写出函数关系式
故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为
(-∞<t<+∞，且 ，…)
解：设每年以均匀流方式存入x万元，则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元．
习题六
6．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求
d)星形线所围面积；
e)绕x轴旋转所得旋转体的体积；
f)星形线的全长．
解：(1)
．
(2)
(3)xt′=3acos2tsint
解：因
要使 在 处连续，则有
又
要使 在 处可导，则必须 ，
即 故当 时， 在 处连续且可导.
25．设 在 上连续，且 ,证明：方程 在[0，a]内至少有一根.
证：令 ,由 在 上连续知， 在 上连续，且
若 则 都是方程 的根，
若 ，则 ，由零点定理知，至少 ,使 ,
即 ，即 是方程 的根，
综上所述，方程 在 内至少有一根.
验证：
所以，结论正确.
;
解：
所以，原式=
验证：
故结论成立.
;
解：原式=
验证： .
故结论成立.
;
解：原式=
验证：
所以，结论成立.
;
解：原式=
验证：
所以，原式成立.
;
解：原式=
验证：
故结论成立.
(n>1，且为正整数).
解：
故
验证：
故结论成立.
9．求下列不定积分：
;
解：原式=
;
解：原式=
.
;
解：原式=
;
解：原式=
为无穷间断点
(3)∵当 时， 呈振荡无极限，
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)
∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
27．研究下列函数的连续性，并画出图形：
解：(1)由初等函数的连续性知， 在（0，1），（1，2）内连续，