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的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛
一、圆的方程
1. 圆的标准方程： ______________________ ,
圆心： ________, 半径：________.
2. 圆的一般方程：
圆心： 二、位置关系的判断
(1) 点与圆
由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,
则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,
则计算 _____________________ ,与0比较大小.
(2) 直线与圆
① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.
② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离
.A = 0,直线与圆相切.
△ >0,直线与圆相交
(3)圆与圆
利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.
三、常见思考角度
1. 直线与圆位置关系常见考査角度
(1)过定点求圆的切线方程
① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.
若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl
（2）直线与圆相交求弦长
结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂
2
2. 圆与圆位置关系常见考査角度
（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程
设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,
C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -
（2） 两圆相交求公共弦长
求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.
四、轨迹方程
在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.
五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）
如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
zn
六、空间直角坐标系中点的坐标
如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.
有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .
-1 -- B»
1 "Z C'
A
' B
C
>1 \ >1 0 X
七、空间两点间的距离公式
如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .
如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .
A/ P 、 Pl
精讲精练
写出下列圆的标准方程：
(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•
(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・
2 . 下列方程：
①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。
；
@(X -4)' + y- -2 3' + 4 = 0 ；⑤尸+尤2+5厂4兀+5二0.
其中表示圆的是___________ -(填写序号)
3 . 已知圆的方程是(—3)2+0 + 2)2=25,则圆心为___________ ,半径为________ .点(5, -7)在_________ ，点(4,>/5-2)在_________ -(填"圆上"、"圆外"或"圆内")
4 . 圆*+)j2x+4y+1 =0的圆心是 ________ ,半径是
点(1, 3)在__________ ，点(1-5/3 , -1)在_
(填“圆上”、“圆外"或“圆内")
已知△Q4B的三个顶点的坐标分别是0(0, 0), 4(1, 1), B(4, 2),则它的外接圆的方程为____________________
已知直线方程为tnx-y-in-\=Q,圆的方程为卫+尸-4厂2卩+1=0・
(1)若直线与圆只有一个公共点，则册的值为 __________ ;
(2)若直线与圆有两个公共点，则用的取值范M 是•
过点(3, 1)作圆(L1)2+F=1的切线，则切线的方程是
圆F+y2-4x+4;v+6=0截直线%->-5=0所得的弦长为
已知圆 CI: A"+y"+2v+8y+1 =0» 圆 C?：xr+y~-4x+4y-1 =0r 则圆
Ci与圆C2的位置关系是_________ •
10.____________ 圆X+护T0L10\=0与圆”+)、2-6欠+2)-40=0
的公共弦长为. ()
9.
11. (1)已知点M 与两个定点50, 0), A(3, 0)的距离的比为-，
2
则点M 的轨迹方程为
(2)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4, 3),端点A 在圆 Ci ・+i)2+y2=4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为
13•如图，长方体 OABODAEC 中，1041=3, I0CI=4, IOD]=3,
打FD 相交于点P,则点C 倍P 的坐标分别为 __________ 14•点P(-3, 2, -1)关于xOv 平面对称的点的坐标是 _____ ,关 于yOz 平面对称的点的坐标是 _____ ,关于Z.OX 平面对称的 点的坐标是 _______ ,关于X 轴对称的点的坐标是 ________ , 关于y 轴对称的点的坐标是 _______ ,关于Z 轴对称的点的坐 标是 _______ ,关于原点对称的点的坐标是 _______ • 15•如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱氏为《的正方体 ABCO-ABCD ，/VC 的中点£ B 的中点F 的距离为(
B.至
2
C- (I
12•设X, y 为任意实数, A. B C D
Z 轴上的点 过
Z 轴上的(0, 过Z 轴上的相应的所有点P(x. y. 3)的集合是(
0, 3)点且与Z 轴垂直的直线
0, 3)点且与Z 轴垂直的平面
以上答案都有可能
X
16•在空间直角坐标系中，已知点P在X轴上，2(4, 1, 2).且PQ=屈,则点P的横坐标为( )
B. -1
C. -1 或 9 D・ 1 或 9
A. 1
17•求证：以 A(4, b 9), 3(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形・
【参考答案】
＞知识点睛
一、 圆的方程
1. (%-«)"+ (y-Zj)" = r" T (“9 /?)» r
2. F + r + Dx + £v + F=0, D- + £2-4F ＞O
(D
E 1 /TH 頁 2 2 2
二、 位置关系的判断
(1)氏-")2+(儿-疔；(2) V + yJ+Dxo + Eyo+F
三、 常见思考角度
1. 切线有无斜率
六、 空间直角坐标系中点的坐标
横坐标，纵坐标，竖坐标
七、 空间两点间的距离公式
jF+r+Z ： , yl(X- X )■ + ( y - y)2 + (Z -|Z)■ 2 ＞精讲精练
1. (1) U+3)- + (y-4)-=5； (2) (x-8)-+(y+ 3)-= 25
2. ①②⑤
3. (3, -2), 5,圆外，圆内
4. & 9.相交
10.4 価
11. (1) x- + y-+2x-3 = 0, (2) (x-»+(y-» = 1
2 2
12. C
13. (Or 4r 0), (3, 4, 3), (?, 2, 3)
2
(b -2), 2,圆外，圆上
X" + y" 一8x + 6y =0
4 4 (1) 0或一(2) ｛加丨川＞0或加＜一_
3 3 ，=1或，=铁-3
3
5. 6. 7-
14.(一3, 2, 1), (3, 2, -1), (一3, -2, -1), (一3, -2,
1) (3, 2, 1), (3, -2, 一 1), (3, -2, 1)
15.B
16.C
17•证明略。