空间向量练习1．在空间直角坐标系中，点P 12，，3 关于平面 xoz 对称的点的坐标是A. 1， 2，3 B. 1，2， 3 C. 1， 2，3 D. 1， 2， 3v2,2, 2 v1,1, 1 ，则2 ．若直线l的一个方向向量a ，平面α的一个法向量为 b （）A. l αB. l l α D. A 、 C 都有可能3．以下四组向量中，互相平行的有（）组．（v1,2,1v1, 2,3 ．（2）v8,4, 6 ，v4,2, 3 ．1） a ， b a b（v0,1, 1 ，v0,3, 3 ．（ 4v3,2,0v4, 3,3 ．3 ） a b ） a ， bA. 一B. 二C. 三D. 四4．若ABCD 为平行四边形，且 A 4,1,3 ， B 2, 5,1 ， C 3,7, 5 ，则顶点D的坐标为（）．A. 1,13, 3B. 2,3,1C. 3,1,5D. 7, 4, 1 2uv uuv v v uv uuv 5．如上图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a 用基底 e1， e2表示为 ( )uv uuv uv uuv uv uuv uv uuvA.e1＋e2 B. 2 e1－e2 C.－2e1＋e2 D. 2 e1＋e26．已知A(4，6)，B3 v14,9v 9 v 143 ；3, ，有下列向量：① a ；② b 7, ；③ c ,2 2 3v7,9 其中，与直线 AB平行的向量( )④ cA. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于 ( )A. B. ) C. D.r2, 1,3r4,2, xr r r r）8．已知向量a ,b ，使 a b 成立的 x 与使a / / b 成立的x分别为（A.10, 6 B. - 10 , 6 6 C. -6, 10 , 6 D. 6,- 10 , 63 3 3 3r r4, 1r r）9．若a =(2 ， 3) ，b = y ，且 a ∥ b ，则y=（A. 6B. 5C. 7D. 8r rr2, 1,2r）10．已知向量a ,b 2,2,1 ，以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积（A. 65B.65C. 4D. 8211 ．如图所示，空间四边形OABC 中，uuur uuur uuurc ，点 M 在OA上，且OA a,OB b,OCuuuur uuur uuuurOM 2MA ， N 为 BC 中点，则 MN 等于（）A.1a 2 b1c B. 2 a 1 b1c C. 1 a 1 b2c D. 2 a 2 b 1 c2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 12．在空间直角坐标系O xyz 中，点1,2, 2 关于点1,0,1 的对称点是（）A. 3, 2,4B. 3, 2, 4C. 3,2, 4D. 3,2,4r1,1,0r1,0,2r r r（）13．已知向量a ,b , 且ka b 与 a 互相垂直，则 kA.1B. 1C. 1D. 13 2 3 214．设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则( ) A. 18 B. 12 C. D.15．已知，点在轴上，，则点的坐标是（）A. B. C. 或 D.r）16．与向量a＝（ 0， 2，－ 4）共线的向量是（A．（ 2， 0，－ 4） B ．（ 3， 6，－ 12）C．（ 1， 1，－ 2） D ．10, , 12r1,2,0 r2,0,117．若向量a ， b ，则r r120 B r r r r r rA．cos a,b ． a b C．a∥b D．a b18．若向量、的坐标满足，，则·等于A．B．C．D．19．已知点 A 2,3,6 与点 B 3,5,4 ，则AB的中点坐标为__________．20．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 A1( a, 0，c)，C(0，b, 0)，则点 B1的坐标为________．21．如图所示的长方体中，，，，则的中点的坐标为__________ ，___________．22．点P 2, 1,3 在坐标平面 xOz内的投影点坐标为______________；23．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 _______．24．已知a ( 3, 1,0), b ( k,0,1), a, b 的夹角为 60o, 则 k .25．若A(0, 2,19)，B(1, 1,5) ， C ( 2,1,5) 是平面内的三点，设平面的法向量ra ( x, y, z) ，则x : y : z 8 8 8．26．已知向量a (2, 1,2) , b ( 4,2, m) ,且a b ，则m的值为27．在空间坐标系中，已知三点A（1， 0， 0），B（ 0，1， 0），C（ 0， 0，1），则平面 ABC的单位法向量是．28．若向量a (4,2, 4), b (6, 3,2) ，则 2a b a 2b _______________. 32． P 是平面 ABCD外的点，四边形 ABCD是平行四边形，AB ( 2， 1， 4), AD (4，2,0),AP ( 1，2， 1) ,求证 PA 垂直平面 ABCD .33．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 2, BC 1,AA1 1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦 .34．（本大题 12 分）如图，在棱长为ɑ的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F、 G分别是 CB、 CD、CC1的中点．（1）求直线A1 C 与平面 ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面 A B1D1∥平面 EFG；（3）求证：平面 AA1C⊥面 EFG ．29．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B， AC， BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4， AC=6，BD=8，则 CD的长为 _________。

D1A1C1B130．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为.（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求的长度.31．（ 2015 秋?河西区期末）已知．（1）若，求实数 k 的值（2）若，求实数 k 的值．FDA BGCE37．（本小题满分 13 分）已知 ABCD A1 B1 C1 D1 是边长为 1 的正方体，求：（Ⅰ）直线 AC1与平面 AA1 B1 B 所成角的正切值；（Ⅱ）二面角 B AC1 B1 的大小．38．在边长是 2 的正方体 ABCD -A B C D中，E, F 分别为 AB, A C 的中点. 应用空间向量方1 1 1 1 1 法求解下列问题.（ 1）求 EF 的长；35．如图四棱锥S ABCD 中， SD AD ， SD（ 2）证明：EF / / 平面AA1D1D；CD ， E 是 SC 的中点， O 是底面正方形ABCD 的中心， AB SD 6 。

（ 3）证明 : EF 平面A1CD. （Ⅰ）求证：EO // 面 SAD ；（Ⅱ）求直线EO 与平面 ABCD 所成的角。

SEDCOA B36．在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=2， BC=B1B=1， M、 N 分别是 AD、DC的中点 .（ 1）求证： MN参考答案1． A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面xoz 对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点P 1，2，3 关于平面 xoz 对称的点的坐标是1, 2,3 ，选 A.2． Av【解析】直线 lv2,2, 2的一个方向向量 a，平面 α 的一个法向量为 b 1,1, 1 v v v v 且 a 2b ，即 a / / b .所以 l α.故选 A. 3． B【解析】若a与 平行，则存在实数使得＝bab经过验证，只有2a2 ，33 , 两组满足条件。

bba故答案选 B 4． A【解析】设 Dx 0 , y 0 , z 0 ， uuuv24, 5 1,1 3∵ AB2, 6, 2 ．uuuv 3 x 0 ,7 y 0 , 5 z 0 ，DC在平行四边形ABCD 中，uuuv uuuv AB PDC ，∴ 3 x 07 y 05 z 0 ①， 26 2 uuuv 3 2,75 , 5 1又∵ BC5,12, 6 ，uuuvADx 0 4, y 0 1,z 0 3 ， uuuv uuuvBC PAD ，∴ x 04 y 0 1 z 0 3②，5 126联立①②，解出：x 0 1， y 0 13 ， z 03 ．故选 A ． 5． Cv vx 轴建立平面直角坐标系。

设正方形【解析】以向量 e 1 的起点为原点，向量 e 1 所在直线为v1,0 vv 3,1 。

的边长为 1，则 e 1, e 21,1 , av v v ，则 3,1x 1,0y 1,1 x y, y ，设 a xe 1ye 2x y 3，解得 {x2vv v 。

选 C 。

∴ { y 1y 1，所以 a2e 1 e 2点睛： 由平面向量基本定理可知， 在确定了平面的基底后， 平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。

常用的方法有两种： （ 1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化； （ 2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。

6． Cuuuv7, 9【解析】由题意可得 AB。

2由向量共线的条件可以判断向量 v vv uuuv v v v a, b, c 与向量 AB 平行，即向量 a, b , c 与直线 AB 平行。

选C 。

7． D【解析】，故选 D.8． Ar【解析】向量 r 2, 1,3 4,2, x ,a ,br r r r 8 2 3?x 10 3x10若 a b , 则 an b0 ，解得 x .r r34 2 x，解得 x 6 .若 a / /b ，则2 13故选 A.9． Crrr r ， 3)y ，得 21 y 4 4 , 解得 y 7 .【解析】由 a ∥ b ， a =(2 ， b = 4, 1故选 C. 10． Ar rrr2 2 1 2 2 14a b【 解 析 】 由 题 意 ，cos a,br r 2222222 12， 则a b1 22 9r r65， 所 以 平 行四边形的面积为sin a, b9S 21 r rrr3 365 65 ，故选 A.a b sin a,b29 11． Buuur uuur uuur【 解 析 】 由 题 意 ， 以 OA, OB,OC 为 基 底 建 立 空 间 向 量 ， 则uuuur uuur uuuur uuur uuuruuuruuur uuur 1 uuur uuurrrrMN ON OM OB 1 BC2OA 2 OA OB OC OB 2 a1 b1 c2 33 2322，故选 B. 12． A【解析】设所求点为 x, y, z ，则 x 12, y2 0, z 2 2，解得 x 3, y2,z 4 ，故选 A.13． Brr【解析】根据题意，r k 1,1,0 1,0,2k 1, k,2 ，因为 r rka bka b a ，所r r r 0 ，则1 k 1 k 1 0 20 ，即 k1，故选 B以 ka b ·a 214． C 【解析】∵ 两点的坐标 分 别 是 ，∴，故选 C.15． C 【解析】依题意设，根据，解得，所以选 .16． D 【解析】试题分析： Q 0, 2, 44 0, 1 , 1 ，所以向量 0,2, 4与 0, 1, 1 共线22 考点：向量共线 17． D【解析】rr1,2,0r r1 ( 2)2 0 0 1 2 ，试题分析：因为向量 a， b2,0,1 ，所以 a b排除 B ；r 22 02r( 2)02 12rra125, | b | 25 ，所以 ab ，应选 D ．r r 1 ( 2)uur 2 r 0 012， A 错，如果 a / / b 则存在实数rrcos a,b使 ab ，显然| a || b |5不成立，所以答案为D．考点：向量的有关运算．18． B【解析】r r试题分析：因为，，所以 a (1, 2,0), b ( 3,1,2), 所以r r5.a b 1 ( 3) ( 2) 1 2 0考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.19．1, 4,5 2【解析】 AB 中点为 2 3 , 3 5 , 4 6 ．2 2 220． ( a，b，c)【解析】∵在如图所示的长方体ABCD A B C D中，已知A（ a，0， c）， C（0， b，0），1 1 1 1 1∴可以得知AD a， DC b， DD1 c ，又∵长方体ABCD A1B1C1D1，∴可以得知B1的坐标为（a，b，c）故答案为（ a，b，c）．21．【解析】由图可知：.为的中点，由中点坐标公式可得.由两点间距离公式有：故答案为：..22．2,0,3【解析】设所求的点为Q（ x，y， z），P、 Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，即x=2， y=0， z=3，得 Q坐标为（2,0,3）23．【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得，，两向量互相垂直，则数量积为．则有，解得．故本题填．224．2【解析】rr k21r r2 k 2 1cos 60o3k k2 试题分析：有已知可得 a2, bagb2考点：向量的数量积运算 25． 2： 3：（ -4 ） 【解析】 试题分析：由得1, 3, 7 x, y, z 04 因为为平面的法向量，则有，即7 x, y, z 02, 1,4x 3y 7 z 0由向量的数量积的运算法则有4 0 解得 y317 z2x y 4 z, x2z4 所以2z3z 4z4 :4:4 2 : 3 : 4x : y : z故正确答案为 2 : 3:4考点：空间向量的法向量． 26． 5 【解析】试题 分 析 ： 由 题 可 知 ：a ( 2, 1,2),b ( 4,2,m) ， 且 a b， 有2 ( 4) ( 1) 2 2m 0，即 m=5．考点：空间向量垂直的充要条件27．3 , 3 , 3 .333【解析】试题分析：三点 A （1， 0， 0）， B （ 0，1， 0）， C （ 0， 0，1），v uuuvuuuv 令平面 ABC 的法向量为 所以 AB =（ -1 ， 1， 0） , AC =（ -1 ， 0， 1）, n =（ x ， y ， z ），v uuuv 0 y xn AB可得 v uuuv 0 ，即 ，∴ x=y=zn AC z xvx2 y2 z2 1，∵平面 ABC的法向量为n =（x， y， z）为单位法向量，解得 x=y=z=3, 故平面 ABC的单位法向量是3考点：平面的法向量．28． 4【解析】3, 3 ,3.33 3试题分析：因为 a (4,2, 4), b (6, 3,2) ，所以r r r r 2a b a 2b= 2(4,2, 4) (6, 3,2) (4,2, 4) 2(6, 3,2) (2,7, 10) (16, 4,0) =4.考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。