n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
(1) 如果 0,
由比值审敛法,
当|
x |
1 时,
级数 | an xn
n0
| 收敛,
从而级数 an xn绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
证明 (1) an x0n收敛,
n0
lim
n
an
x0
n
0,
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x
1时,
等比级数 M
n
x 收敛,
x0
n0 x0
an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
n0
n0
n0
n0
收敛半径 R 0.
定理证毕.
例2 求下列幂级数的收敛域:
(1)
(1)n
xn ;
n1
n
(2) (nx)n;n1xn(来自);n1 n!
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1 n an n n 1
当x 1时,
n0
任一闭区间[a,b]上， an xn一致收敛。
n0
设x max{| a |,| b |} (R, R),则
x [a,b],有 | an xn || an xn |, 由优级数法，得证。
注： 这里[a,b]不能改成（-R, R）.
如： xn在(1,1)不一致收敛。
定理5 : 若 an xn收敛半径为R 0,且在x R(或x R)
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛域x 0;
(2) 幂级数对一切x 都收敛, R , 收敛域(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
收敛半径的求法
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
例 3 求
n1
x 2n1 2n
的收敛域.
? 解lim an1 n an
lim
n
1／2n1 1／2n
1, 2
R 2.
当 x 2时, 级数为 1
2n , 发散.
2 n1
收敛域为 (2, 2).
例 3
求幂级数
n1
x 2n1 2n
的收敛域.
解
级数为
x 2
x3 22
x5 23
缺少偶次幂的项
级数为
(1)n ,
n1 n
当x 1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
故收敛域是(1,1].
(2) (nx)n;
n1
lim n n
an
lim n , n
R 0,
级数只在x 0处收敛,
xn
(3) ; n1 n!
lim an1 lim 1 0, R ,
n an
n n 1
n0
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn发散.
n0
收敛半径 R 1 ;
(2) 如果 0, x 0,
有 an1 xn1 an xn
0 (n ),
对任何x都有 x 1,
收敛半径 R ;
(3) 如果 ,
x 0, 级数 | an xn | 必发散. 从而 an xn发散。
应用比式判别法 :
lim un1( x) n un ( x)
x 2n1
lim n
2n1 x 2n1
2n
1 x2, 2
当 1 x2 1, 即 x 2时, 级数收敛,
2
当 1 x2 1, 即 x 2时, 级数发散,
2
当x
2时, 级数为
1,
级数发散,
n1 2
当x
2时,
级数为
1,
级数发散,
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
定理 1 (Abel 定理)
(1)如果级数 an x n 在x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;
(2)如果级数 an x n 在x x0 处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
第十四章 幂级数
§1 幂级数
定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时, an xn , 其中an 为幂级数系数.
n0
一.幂级数的收敛区间: 它在x 0总是收敛的。
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定