解直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．【重点难点】1.直角三角形的解法．2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3.实际问题转化成数学模型. 知识概览图解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)两锐角关系：两锐角互余 边角关系：三角函数30°角所对的直角边等于斜边的一半两边一角：由勾股定理求另一边，再求角一边一角：由三角函数求另两边，再求角 新课导引【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m 的梯子．(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少?这时人解直角三角形 直角三角形的有关性质解直角三角形的基本类型及方法是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数)【问题探究】对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝BCAB，得BC＝AB²sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈6³0.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢?教材精华知识点1 解直角三角形的概念如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c＝5，如何求∠B，a，b呢?由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°．由sin A＝ac，得a＝c²sin A＝5²sin 50°≈5³0.7660＝3.83．由cos A＝bc，得b＝c²cos A＝5²cos 50°≈5³0.6428＝3.214．上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．拓展直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素．知识点2 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．(3)边角之间的关系：sin A＝ac ，cos A＝bc，tan A＝ab，sin B＝bc，cosB＝ac ，tan B＝ba.(4)直角三角形中的有关定理．①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． ②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°．④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项．如图28－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 2＝AD ²DB ．同理AC 2＝AD ²AB ，CB 2＝BD ²BA ．⑤面积公式：如图28－31所示，S △ABC ＝12CA ²CB ＝12AB ²CD ．拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：∠A ＝90°－∠B ，∠B ＝90°－∠A ．(2)三边之间的常用变形：a，bc边角之间的常用变形：a ＝c ²sin A ，b ＝c ²cos A ，a ＝b ﹒tan A ，a ＝c ²cos B ，b ＝c ²sin B ，b ＝a ²tan B .知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：图 形已知类型已知条件解法步骤两边斜边，一直角边(如c ，d )(1)b(2)由sin A ＝ac，求∠A (3)∠B ＝90°－∠A 两直角边(如a ，b ) (1)c(2)由tan A ＝a b，求∠A(3)∠B ＝90°－∠A 一边一角斜边，一锐角(如c ，∠A )(1)∠B ＝90°－∠A(2)由sin A ＝a b，求a ＝c ²sin A (3)由cos A ＝ac ，求b ＝c ²cosA一直角边，一锐角(如a，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由tan A＝ab，求b＝tan A(3)由sin A＝ac，求c＝sinaA拓展虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则．规律方法小结本节知识利用数形结合思想，将锐角三角函数运用到直角三角形中．使问题得以解决，在解决问题时，有时也会用到分类讨论思想．课堂检测基础知识应用题1、根据下列条件解直角三角形．(结果保留小数点后两位)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝A＝60°；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝；(4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝15，∠A＝42°6′．2、如图28－32所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BC＝10，求它的腰长和底角．(腰长保留小数点后两位)， 3、如图28－33所示，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝13求∠A的各个三角函数值．4、如图28－34所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，D为AC边上一点，∠DBC＝30°，CD＝12，求AD的长和△ABD的面积．(长度保留小数点后一位，面积保留小数点后两位)5、如图28－35所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α．(1)求α的各个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．6、在Rt△ABC中，∠C＝30°，a＝10，且S△ABC A．7、已知17cos A＋13cos B＝17，17sin A＝13sin B，且∠A，∠B都是锐角，求12∠A＋∠B的值．8、已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10，且两边夹角为α的菱形的面积．综合应用题9、如图28－37所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝BC＝10、如图28－38所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．11、如图28－40所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是BC边上的中线，求证cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程10x2－＋3＝0的两个根．12、如图28－41所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)13、如图28－42所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°(即∠NAC＝60°)方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．(1)B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(参考数据：1.4 1.7)探索与创新题14、如图28－43所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝3，5则BC的长是 ( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm15、如图28－44所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA＝1，则AD的长为 ( )5A．2C．1 D．16、如图28－45所示，在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证S△ABC ＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B．17、在△ABC中，AB＝AC，它的一个外角为80°，cm，求腰上的高．18、如图28－47所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整的地带，该建筑物顶部的宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶H，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶距地面的高度HG的方案，具体要求如下：①测量数据越少越好；②在所给图形上画出你所设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上；(如果测A，D间的距离，用m表示，如果测D，C间的距离，用n表示，如果测角，用α，β，γ等表示，测角仪器的高度不计)；(2)根据你所测得的数据，计算塔顶H距地面的高度HG．(用字母表示)19、如图28－49所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，测得AB＝CB＝ABCD的面积．体验中考1、2sin 30°的值等于 ( )A．1 B．22、如图28－54所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )A．5cos α B．5cosαC．5sin α D．5sinα附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 (1)是已知斜边和一直角边解直角三角形；(2)是已知斜边和一锐角解直角三角形；(3)是已知两直角边解直角三角形；(4)是已知一直角边和一锐角解直角三角形．解：(1)∵sin A ＝ac，∴∠A ＝45°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠B ＝45°，∴b ＝a ＝5．(2)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°．∵sin A ＝a c ，∴a ＝c ²sin A ＝sin 60°＝＝6，∴b =(3)∵∠C ＝90°，a ＝b ，b ＝∴c =∵tan A ＝a b=∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°．(4)∵∠A ＝42°6′，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－42°6′＝47°54′． ∵tan A ＝a b，∴a ＝b ²tan A ＝15³tan 42°6′≈15³0.9036≈13.55． 又∵cos A ＝bc ，∴c ＝cos b A ＝15cos426'︒≈150.7420≈20.22．【解题策略】 (1)解直角三角形时，应求出所有未知元素．(2)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．(3)若需要使用计算器计算，则计算结果应符合题目要求的精确度．2、分析 由于△ABC 是等腰三角形，所以作底边BC 上的高，可得到两个全等的直角三角形，解其中的Rt △ABD ，不难求得△ABC 的腰长和底角． 解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ， ∵AB ＝AC ，BC ＝10，∠BAC ＝40°，∴BD ＝12BC ＝5，∠BAD ＝12∠BAC ＝20°，∴∠B ＝∠C ＝70°． 在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BDAB， ∴AB ＝sin BD BAD ∠＝5sin 20︒≈50.3420≈14.62，即△ABC 的底角为70°，腰长约为14．62．【解题策略】 解有关等腰三角形的题目时，常常作出底边上的高，转化为解直角三角形．3、分析 已知tan ∠BCD 的值，但∠BCD 不在直角三角形中，若过点D 作DE ⊥BC 于E ，则Rt △CDE 与Rt △ACD 不易建立起联系，若过点D 作DE ⊥CD 交BC 于E ，则DE ∥AC ，又∵点D 是AB 的中点，∴DE ＝12AC ，此时两个直角三角形的边长之间建立起了联系．解：过点D 作DE ⊥CD 交BC 于E ，则DE ∥AC∵点D 是AB 的中点，∴DE ＝12AC 设DE ＝x ，则AC ＝2x ． 又∵tan ∠BCD ＝DE CD ＝13，∴CD ＝3x ． 在Rt △ACD 中，AD， ∴sin A＝CD AD，cos A＝AC AD == tan A ＝CD AC＝3322x x =． 【解题策略】 解此类题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个直角三角形中，若没有直角三角形，应构造出直角三角形，再解决问题．4、分析 由已知条件可得AC ＝BC ，AD ＝AC －DC ，因此先解Rt △DBC 解：在Rt △DBC 中，∠DBC ＝30°，CD ＝12．∵tan ∠DBC ＝DCBC， ∴BC＝12tan tan 30DC DBC ===︒∠12³1.732≈20.8．∵∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝90°－45°＝45°． ∴∠ABC ＝∠BAC ，∴CA ＝CB ≈20．8，∴AD ＝AC －CD ≈20．8－12＝8.8．∴S △ABD ＝12²AD ²BC ≈12³8.8³20．8＝91.52．【解题策略】 钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以要注意S △ABD ＝12AD ²BC ． 5、分析 (1)在Rt △ADC 中，由勾股定理求出AD 的长，则α的各个三角函数值可求．(2)若∠B ＝α，则有tan B ＝tan α＝ACBC，可求出BC 的长，则BD 可求．解：(1)在Rt △ADC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，DC ＝1，∴AD ，∴sin α＝DC AD ==cos α＝AC AD ==tan α＝12DC AC =. (2)∵∠B ＝α，∴tan B ＝tan α＝12. 又∵tan B ＝ACBC，AC ＝2，∴BC ＝4， ∴BD ＝BC －DC ＝4－1＝3．【解题策略】 若所求的问题不能直接求出，可转化为先解其他的直角三角形，再求解．6、分析 解此题的关键是判断∠A ，∠B 中哪个角是直角，故应分类讨论．解：①当∠A ＝90°时，a ＝BC ＝10，∴AB ＝5，AC ＝∴S △ABC ＝12²AC ²BA ＝12³5， 与已知条件S△ABC A ≠90°． ②当∠B ＝90°时，a ＝BC ＝10，∵tan C ＝AD BC，∴AB ＝BC ﹒tan C ＝10²tan 30°＝10∴S △ABC ＝12²BC ²AB ＝12³10∴∠A ＝90°－∠C ＝60°． 综合可知∠A ＝60°．7、分析 从题面上看，若将正弦化为余弦，再解方程，实际操作起来比较困难，如图28－36所示，可构造△ABC，并将△ABC化分为Rt△ACD和Rt△BCD，17sin A和13sin B均可看作高线CD的长，则17cos A＋13cos B正好为AD＋DB ＝17．解：如图28－36所示，作△ABC，使AB＝AC＝17，BC＝13，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝17sin A＝13sin B，AD＝17cos A，BD＝13cos B，且17cos A＋13cos B＝AB＝17，∴△ABC为满足题意的三角形．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠A＋2∠B＝180°，即12∠A＋∠B＝90°．【解题策略】解此题的关键是作CD⊥AB于D，转化为Rt△ACD和Rt△BCD，再利用锐角三角函数的知识来解决问题．规律²方法观察题中的已知条件，联想它的几何图形，构造出符合条件的几何图形，将“数”转化为“形”，这是数形结合思想的应用，也是数学中的一种主要解题方法，它可使问题显得直观，便于解决．8、分析由一元二次方程有两个等根，即Δ＝0，可求得cosα，再转化为sinα，即可求出菱形一边上的高，于是可求出菱形的面积．解：∵关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－10cosα)2－4³5³(－7cos a＋6)＝0，即5cos2α＋7cos α－6＝0，∴cosα＝35或cosα＝－2．∵0＜cosα＜1，∴cosα＝－2不符合题意，舍去，∴cosα＝35．又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1625，∴sinα＝±45．又∵0＜s i nα＜1，∴sinα＝－45不符合题意，舍去，∴sinα＝45，∴菱形一边上的高为10²sinα＝10³45＝8，∴S菱形＝10³8＝80．【解题策略】此题通过作菱形的高转化为已知直角三角形中锐角的正弦值和斜边求该锐角所对的边(即菱形的高)，从而可求出菱形的面积．9、分析 要解Rt △ABC ，需要(除直角外)两个条件，已知条件中有一条边BC＝(边或角)，而这个条件应从另一个已知条件中得到，由已知可得到△BDC ∽△BCA ，则BC 2＝BD ²AB ，其中BD ＝AB －AD ＝AB －而可得到所需的另一个条件．解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∵CD ⊥AB 于D ，∴∠CDB ＝∠ACB ＝90°． 又∵∠B ＝∠B ，∴△BDC ∽△BCA ， ∴BC BD AB BC，∴BC 2＝DB ²AB ，即2＝(AB －AD )²AB ，∴48＝(AB －²AB ，即AB 2－－48＝0，∴AB ＝AB ＝－舍去)．∴sin A ＝BC AB 12，∴∠A ＝30°，∠B ＝90°－∠A ＝60°．∴cos A ＝ACAB，∴AC ＝AB ²cos A ＝cos 30°＝＝12．【解题策略】 借助三角形相似得出边与边的关系，再解直角三角形，从而求出相应的边或角．10、分析 由已知∠B ＝90°，∠A ＝60°，可联想到延长BC ，AD ，使它们相交，从而构成直角三角形．解：如图28－39所示，延长BC ，AD 相交于点E ，∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°． 在Rt △ABE 中，AE ＝2AB ＝4．∵cos E ＝BEAE，∴BE ＝AE ²cos E ＝4²cos 30°＝∴S △ABE ＝12AB ²BE ＝12³2³在Rt △CDE 中，tan E ＝CDDE ，∴DE＝tan CD E ==∴S △CDE ＝12DE ²DC ＝121∴S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE． 【解题策略】 对于一些较复杂而又不规则的几何图形，可以通过作适当的辅助线转化为规则的直角三角形来求解．11、分析 证明此题的关键是验证等式cos ∠BAD ＋sin ∠BADcos ∠BAD ²sin ∠BAD ＝310成立，故应先分别求出cos ∠BAD ，sin ∠BAD 的值． 证明：过点D 作DE ⊥AB 于E ，设DE ＝k ，∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，∴∠B ＝45°． 又∵∠DEB ＝90°，∴∠EDB ＝∠B ＝45°， ∴DE ＝BE ＝k ，BD， ∴AC ＝BC ＝2BD ＝， ∴AB4k ．∴AE ＝3k ，∴AD. 在Rt △ADE 中，cos ∠DAE ＝AE AD == sin ∠DAE＝DE AD =∴cos ∠DAE ＋sin ∠DAE110cos ∠DAE ²sin ∠DAE310， ∴cos ∠BAD和sin ∠BAD 是一元二次方程x 2＋310＝0的两个根，即是一元二次方程10x 2－＋3＝0的两个根．【解题策略】 本题综合运用了一元二次方程根与系数的关系及解直角三角形的相关知识．12、分析 本题主要考查直角三角形的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题，过点A ，B 分别作CD 的垂线，得到两个直角三角形，解这两个直角三角形，可求出AC ，BD ，CE ，DF ，要注意CD ＝CE ＋EF －DF ．解：过点A ，B 作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，分别交CD 的延长线于E ，F 两点，在Rt △ACE 中，cos 45°＝AE AC ，∴AC ＝cos 45AE︒＝米)． 在Rt △BDF 中，cos 30°＝BFBD ，∴BD＝cos30BF =︒＝6 (米)． ∵CE ＝AE ＝米)，DF ＝12BD ＝3(米)，EF ＝AB米)，∴CD ＝CE ＋EF －DF ＝33(米)． 【解题策略】 同时解含有两个或两个以上的直角三角形的实际问题，一定要注意各边的联系．13、分析 (1)过点B 作BD ⊥AC 于D ，先根据题意求得BD ，然后用BD 和200进行比较，如果BD ＞200，则不会受到台风的影响，否则会．(2)以点B 为圆心，200为半径画圆，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，先由勾股定理求得DE ，AD ，从而求得AE ，再根据题意求得该货船卸完货物所需的时间． 解：(1)过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，由题意可知∠BAC ＝30°．在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12³(20³16)＝160＜200， ∴B 处会受到台风的影响．(2)以点B 为圆心，200为半径画圆，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ， 由勾股定理得DE ＝120，AD ＝∵AE ＝AD －DE ＝120， ∴t＝40AE =＝3≈4³1.7－3＝3.8(小时)， 即该船应在3.8小时内卸完货物．【解题策略】 解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决，此题通过作高转化为直角三角形，从而利用直角三角形的三边关系来解决问题．14、分析 在Rt △CDB 中，cos ∠BDC ＝C 35D BD =，设DC ＝3x ，则BD ＝5x ，∴BC＝4x ．∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DA ＝DB ＝5x ，∴AC ＝AD ＋DC ＝5x ＋3x ＝8x ，∴8x ＝8，x ＝1，∴BC ＝4x ＝4(cm)．故选A ．【解题策略】 锐角的三角函数值可以转化为直角三角形中两边的份数比． 15、分析 过A 作AE ⊥AB 交BD 的延长线于正，过D 作DF 上AB 于F ，则∠DAF＝∠ADF ＝45°，∴FD ＝FA ．又∵CA ＝CB ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝∵tan∠DBA ＝15，∴15DF FB =．设DF ＝x ，则FB ＝5x ，AB ＝AF ＋FB ＝x ＋5x ＝6x ，∴x∴AD =2．故选B ．16、分析 要求面积，关键是作高，从而构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的知识来解决．证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ABD 中，sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ²sin B ＝c ²sin B ， ∴S △ABC ＝12BC ²AD ＝12²a ²(c ²sin B )＝12ac sin B ． 同理可证S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ． 【解题策略】 由S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，得s i n s i ns i na bcA B C ==. 17、分析 80°不可能是底角的外角，只能是顶角的外角，因此△ABC 的各角度数可求，如图28－46所示，作CD 平分∠ACB ，CH ⊥AB ，交BA 的延长线于H ，由于CD 已知，所以只要解直角三角形CDH 即可求出高CH ． 解：如图28－46所示，由题意可知∠BAC ＝180°－80°＝100°，∴∠B =∠ACB ＝1801002︒-︒＝40°． 作△ABC 的底角平分线CD ，则CD ，∠ACD ＝20°． 过点C 作CH ⊥AB ，交BA 的延长线于H ， 则∠HAC ＝80°，∠HCA ＝90°－80°＝10°． 在Rt △CDH 中，∠DCH ＝20°＋10°＝30°，∵cos ∠DCH ＝CHCD，∴CH ＝CD ²cos 30＝10(cm)． 【解题策略】 (1)本题的图形中有三个直角三角形，到底选用哪一个，要视具体情况而定．(2)寻找或构造可解的直角三角形是解此类问题的关键．18、分析 本题考查如何利用解直角三角形的知识来解决实际问题(测量物体的高度)，开放性较强，且解法较多，现给出一种解法，仅供参考． 解：(1)如图28－48所示，测出α，β，n 三个数据．(2)设HG ＝x ,在Rt △CHG 中，tan β＝HGCG，∴CG ＝tan tan HC x ββ=. 在Rt △DHM 中，tan α＝HMDM， ∵DM ＝CG ，MG ＝DC ，∴CG ＝DM ＝tan tan tan HM HG MG x nααα--==. ∴tan tan x x n βα-=，∴x ＝tan tan tan n ββα- . 【解题策略】 解决这种类型题的方法是：先根据题意准确地画出示意图，然后根据图形及条件挖掘出图形中可解的直角三角形，再利用可解的直角三角形来解题．19、分析 适当地添加辅助线，把不规则的四边形转化为直角三角形和规则的四边形来求解．解法1：如图28－49所示，过点B 作BE ∥AD 交CD 于E ，过点E 作EF ∥AB交AD 于F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD ，∴四边形ABEF 是矩形， ∴∠CBE ＝30°，∠D ＝60°．在Rt △BCE 中，BE＝cos BC CBE ==∠＝100， CE ＝BE ²sin ∠CBE ＝100³sin 30°＝100³12＝50．在Rt △DEF 中，DF＝tan tan EF AB D D =＝30． ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝130． ∴S 四边形ABCD ＝S 四边形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE )²AB ＋12BC ²EC＝12(130＋100)³12³5021 ＝解法2：如图28－50所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝60°，∠E ＝30°．在Rt △ABE 中，AE ＝AB ²tan 60°＝90，BE＝cos602AB =︒＝∴CE ＝BE ＋BC ＝在Rt △DCE 中，DC ＝EC ²tan 30°＝＝110， ∴S 四边形ABCD ＝S △EDC －S △EAB ＝12³110³12³90³30＝【解题策略】 本题主要考查对已知图形进行转化、割补的能力，解题关键是构造可解的三角形．体验中考1、分析 因为sin 30°＝12，所以2sin 30°＝1．故选A.2、 分析 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝α，则cos α＝AC AB，AB ＝5cos cos AC αα=．故选B ．。