全日制硕士生“数值分析”教学内容与基本要求
一、教学重点内容及其要求
（一）引论
1、误差的基本概念
理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。
2、数值算法设计若干原则
掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失选择数值稳定的算（避免相近数相减），法。
重点：算法构造（如多项式计算）、数值稳定性判断（舍入误差的分析）
（二）插值方法
1、插值问题的提法
理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。
2、Lagrange插值
熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。
3、Newton插值
熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。
4、Hermite插值
掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。
5、分段线性插值
知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。
6、三次样条函数与三次样条插值概念
了解三次样条函数与三次样条插值的定义。
重点：多项式插值问题（唯一性保证、构造、误差余项估计）
（三）曲线拟合与函数逼近
1、正交多项式
掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式（授课时，将其放在课高斯型数值积分这部分介绍）。
2、曲线拟合的最小二乘法
熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解（见教材P103）。
3、连续函数的最佳平方逼近
了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。
重点：最小二乘拟合法方程的推导、求解；拟合与插值问题的异同。
（四）数值微积分
1、数值求积的基本思想、插值型求积公式与代数精度
掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。
2、Newton-Cotes公式（等距节点插值型求积公式）
掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余项公式与代数精度的联系，了解系数之和的性质，掌握稳定性条件；理解复化求积方法的思想。
3、Gauss型求积公式
理解Gauss型求积公式的概念（最高代数精度、插值型、恒稳定），掌握构造Gauss型求积公式的方法（Gauss点和系数的求法），掌握其数值稳定性结论。
4、基于Taylor公式的数值微分公式
掌握常用的几个一阶差商公式（向前差商和向和差商）及二阶中心差商公式。
重点：代数精度（计算代数精度、构造公式或判别是否为Gauss型求积公式）、Gauss型求积公式的构造
（五）线性代数方程组的直接解法
1、三角形方程组的解法
熟练掌握三角形方程组解法（前推、回代公式）。
2、Gauss消去法
熟练掌握顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并会应用之求解具体的方程组，理解选主元的优点。
3、三角分解法
掌握三角分解法的原理，并会用直接三角分解法求解具体的方程组。
4、追赶法与平方根法
掌握追赶法与平方根法的原理，并会应用之求解具体的方程组。
5、向量和矩阵的范数、谱半径与条件数
知道向量和矩阵范数的概念与基本性质，掌握常用的向量和矩阵范数的计算，掌握矩阵谱半径的定义与计算，掌握矩阵范数和谱半径的大小关系，会计算条件数，掌握条件数大小与方程组病态程度的关系，知道条件数不小于1。
重点：相信方程组的两种直接法求解过程
（六）线性代数方程组的迭代解法
1、迭代法的基本思想
理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。
2、Jacobi迭代和G-S迭代
熟悉Jacobi迭代与G-S迭代的公式及迭代矩阵。
3、迭代法收敛性分析
熟练掌握迭代法收敛性充要条件与收敛性充分条件、Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性判定，知道收敛速度与迭代矩阵谱半径（范数）大小的关系。
4、了解SOR法及其收敛性结论
重点：迭代法的构造、收敛矩阵计算、收敛性判断、收敛速度计算。
（七）方程求根
1、二分法
掌握二分法及其误差估计。
2、不动点迭代法
理解不动点迭代法，掌握迭代法的局部收敛条件与收敛阶的判定。
3、Newton迭代法
熟悉Newton迭代法及其收敛性结论，掌握Newton法的应用（如应用于代数方程等特殊方程）。
重点：不动点迭代理论和Newton迭代法（应用、格式构造、收敛性、收敛阶等）
（八）常微分方程数值解法
1、数值解的概念
理解数值解的概念，掌握初值问题数值解法的特点（步进式）。
2、Euler方法、局部截断误差
掌握Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式，会推导其局部截断误差，并判断方法的阶；了解改进的Euler公式。
3、Runge-Kutta方法的原理
知道Runge-Kutta方法的原理，掌握经典4阶Runge-Kutta公式的特点（性质）。
4、线性多步法的概念
知道线性多步法的一般形式与构造途径。
5、单步法的收敛性与稳定性
掌握单步法的收敛性与稳定性的概念，会论证收敛性和推导绝对稳定的条件（限于模型方程形式，其中λ为负实数）。
重点：3个简单的数值微分公式及其余项、常微分方程差分格式构造（推导）、稳定性分析、局部截断误差计算（收敛阶判别）
二、教材《应用数值分析》相关章节
第1章：1.1--1.4节，1.5.1、1.5.2小节，1.6节，1.7节，1.8.1、1.8.2小节，1.9节；第2章：2.1--2.4节，2.5.1、2.5.2小节，2.6.1小节；
第3章：3.1节，3.2节，3.3.2、3.3.3小节，3.5节；
第4章：4.1--4.3节，4.4.1小节；
第5章：5.1--5.4节，5.8.1小节；
第6章：6.1--6.3节，6.4.1、6.4.2小节；
第7章：7.1--7.3节，7.4.1、7.4.2、7.4.3小节；
第9章：9.1节，9.2节，9.3.1、9.3.2小节，9.4节，9.5.1、9.5.2、9.5.3小节。
三、课后复习思考题
第1章：习题1.1(3)(4)、1.2、1.3、1.4、1.6、1.9(1)、1.15--1.18、1.21(1);
第2章：习题2.1--2.3、2.6--2.11、2.13、2.15、2.26;
第3章：习题3.1、3.3、3.6、3.7、3.9、3.13(1)、3.20、3.21(1);
第4章：习题4.4--4.7、4.12、4.13、4.17、4.19;
第5章：习题5.1、5.2、5.4--5.6、5.10、5.12、5.13、5.16(1)(2)、5.20、5.23; 第6章：习题6.3、6.6、6.9--6.12、6.14、6.17、6.22;
第7章：习题7.1、7.4、7.5、7.8、7.9、7.15--7.18;
第9章：习题9.2、9.4、9.8、9.10、9.11、9.13、9.15、9.16、9.17(3)、9.18。