2．天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. 由于 GMRm2 ＝mg，故天体质量 M＝gGR2， 天体密度 ρ＝MV ＝43πMR3＝4π3GgR.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径
r. ①由万有引力等于向心力，即 GMr2m＝m4Tπ22r，得出中心天体
质量 M＝4GπT2r23； ②若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ρ＝MV ＝43πMR3＝G3Tπ2rR3 3；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨 道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝G3Tπ2.可见，只要测出卫 星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．
人造卫星问题的解题技巧 (1)卫星向心加速度的不同表述形式． ①GMr2m＝man. ②an＝vr2＝rω2＝4Tπ22r.
(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动 的关系的桥梁还是牛顿第二定律．
①卫星的 an、v、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化， 其他各量也随之发生变化．
的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为
a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
解析：选 D.由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和 赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r，由于 r2＞r3，则可以得 出：a2＞a3；又由万有引力定律有：GMr2m＝ma，且 r1＜r2，则得 出 a2＜a1.故选项 D 正确．
3．(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神 舟八号”飞船，并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在 离地面约 300 km 高的圆轨道上正常运行，则下列说法中正确的是 ()
A．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度 B．对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一 轨道上点火加速 C．对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等 D．对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度
解析：选 AD.由 v＝ωr 可求出 r，根据 GMr2m＝mvr2或 GMr2m＝ mω2r 可求出冥王星的质量，A 正确．根据 GMr2m＝m4Tπ22r 可求出 冥王星的质量，D 正确．B 和 C 中都由于已知量不足，无法求出 冥王星的质量．
2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力
2．(多选) 如图所示，P、Q 是质量均为 m 的两个质点，分别 置于地球表面的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、 Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q 受地球引力大小相等 B．P、Q 做圆周运动的向心力大小相等 C．P、Q 做圆周运动的角速度大小相等 D．P 受地球引力大于 Q 所受地球引力
解析：选 CD.地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且 小于第二宇宙速度，A 错误；若“神舟八号”在与“天宫一号” 同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”的万有引力小于向心力， 其将做离心运动，不可能实现对接，B 错误；对接时，“神舟八 号”与“天宫一号”必须在同一轨道上，根据 a＝GMr2可知，它们 的加速度大小相等，C 正确；第一宇宙速度是地球卫星的最大运 行速度，所以对接后，“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙 速度，D 正确．
②an、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径 r 和中 心天体质量共同决定．
考点三 航天器的变轨问题
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时， 万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．
(1)当卫星的速度逐渐增加时，GMr2m＜mvr2，即万有引力不足 以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入
1．(2016·高考海南卷)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推 算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引 力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这 两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径
日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的
人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地
点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8
日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球
同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意 (1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫 星的轨道半径才近似等于天体半径． (2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、 “谁做圆周运动”等，明确一般只能求解中心天体的质量和密度， 不能求解环绕天体的质量和密度．
考点二 卫星的运行规律 1．卫星的运行规律 (1)卫星做匀速圆周运动． (2)万有引力提供向心力：即由 GMr2m＝mvr2＝mrω2＝m4Tπ22r＝ man 可推导出：
主干回顾 夯基固源 考点透析 题组冲关
课时规范训练
第4节 万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律
定律
开普勒 第一定 律 开普勒 第二定 律
内容
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳 处在椭圆的一个焦点上
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相 等的时间内扫过相等的面积
开普勒 第三定 律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公 转周期的二次方的比值都相等.Ta32＝k
加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期
为 T，引力常量为 G.地球的密度为( )
A.G3Tπ2·g0g－0 g
B．G3Tπ2·g0g－0 g
3π C.GT2
D.G3Tπ2·gg0
解析：选 B.设地球半径为 R.质量为 m 的物体在两极点时，有 mg0＝GMRm2 ，在赤道时，有 GMRm2 －mg＝mR2Tπ2，又地球的密度 ρ＝43πMR3，由各式联立得 ρ＝Gg30－g0πgT2，选项 B 正确．
解析：选 AC.计算均匀球体与质点间的万有引力时，r 为球心 到质点的距离，因为 P、Q 到地球球心的距离相同，根据 F＝GMr2m 知，P、Q 受地球引力大小相等，P、Q 随地球自转，角速度相同， 但轨道半径不同，根据 Fn＝mRω2，P、Q 做圆周运动的向心力大 小不同，A、C 正确，B、D 错误．
[自我诊断] 1．判断正误 (1)只有天体之间才存在万有引力．( × ) (2) 当 两 物 体 间 的 距 离 趋 近 于 零 时 ， 万 有 引 力 趋 近 于 无 穷 大．( × ) (3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心．( √ ) (4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．( × ) (5)地球同步卫星可以定点于北京正上方．( × )
3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，
行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为
地球绕太阳运动半径的210.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
1 A.10
B．1
C．5
D．10
解析：选 B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供 向心力，由牛顿第二定律得 GMr2m＝m4Tπ22r，则MM21＝rr123·TT212＝210 3×36452≈1.选项 B 正确．
四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随 速度 的改变而改变的． (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测 量结果在不同的参考系中是 相同的 ．
2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系 有关 ，在不同的参 考系中 不同 ．
3．经典力学有它的适用范围 只适用于 低速 运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世 界，不适用于 微观 世界．
v＝
GM
r
ω＝ T＝
GM 4πr32r3⇒当 GM
an＝GMr2
r
v减卫星的六个“一定”
1. 如图，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动，
a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2，线速度大小分别为 v1、v2， 则( )
A.vv12＝
新的轨道稳定运行时由 v＝ 小．
GrM可知其运行速度比原轨道时减
(2)当卫星的速度逐渐减小时，GMr2m＞mvr2，即万有引力大于 所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进
入新的轨道稳定运行时由 v＝ 增大．
GrM可知其运行速度比原轨道时
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位 置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使 其进入预定的轨道．如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程 完成：
r2 r1
C.vv12＝rr212
B.vv12＝
r1 r2
D.vv12＝rr122
解析：选 A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMr2m＝
mvr2，可得 v＝
GrM，所以对于 a、b 两颗人造卫星有vv12＝ rr21，
故选项 A 正确．
2．(2016·高考四川卷) 国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24
速圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律 GMr2m＝
m
v2 r
＝
m
4π2 T2
r
＝
ma
＝
mg′
，
可
求
得
卫
星
运
动
的
速
度
大
小
v＝
g2R，周期 T＝4π 2gR，向心加速度大小 a＝g′＝14g，选项 A、 C 错误，B、D 正确．