2020年银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校联考（理科）数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则U A B = A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2.若a 为实数，则复数()()1z a i ai =++在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．实轴上D ．虚轴上3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则α2cos 等于A ．-错误!未找到引用源。
B ．-错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
5.在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则BC AD ⋅的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、146.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数)(x f y =的部分图象,则)(x f 可能是A ．x x sinB ．x x cosC ．x x cos 2D ．x x sin 27. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．516 B ．1132 C ．716 D ．13328.将函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线4π=x对称,则ϕ的最小正值为A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
9.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为A ．9798 B ．9899C ．99100D ．100101 10.已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 A ．(22,)+∞ B ．)22,⎡+∞⎣ C ．(3,)+∞ D ．[)3,+∞11.F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是A 23B ．143C 2D ．2 12.设函数)(x f (x ∈R)满足)()(x f x f =-,)2()(x f x f -=,且当x ∈[0,1]时,3)(x x f =.又函数|)cos(|)(x x x g π=,则函数)()()(x f x g x h -=在[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
]上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.71()7x x-的展开式的第3项为 14.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是错误!未找到引用源。
尺，芒种的日影子长为错误!未找到引用源。
尺，则冬至的日影子长为15.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满6BA BC ==2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为16.如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=错误!未找到引用源。
.直线l 是∠F 1AF 2的平分线，则椭圆E 的方程是 ,l 所在的的直线方程是三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
17. (本小题满分12分)如图，CM ，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN =120°，现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米） （1）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；（2）已知AB =12，记∠ABC =θ，试用θ表示观景路线A -C -B 的长，并求观景路线A -C -B 长的最大值．18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C AB-⊥中，侧面111,BCC B AC AB=．(1)求证：平面1ABC⊥平面1AB C；(2)若12,60AB BC BCC==∠=o，求二面角11B AC B--的余弦值．19.(本小题满分12分)绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，L[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）．水果达人非水果达人合计男10女30合计（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：0k2.072 2.7063.841 6.635 7.87920()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.010 0.00520.(本小题满分12分) 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为10.（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两点，求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数2()xf x e ax =-，其中常数a R ∈．（1）当(0,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，且[0,)x ∈+∞时，求证：2()414f x x x >+-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是cos 2x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(++=x x x f .（1）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立的条件下，正数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2020年银川市第九中学、石嘴山第三中学、平罗中学高三年级三校联考数 学(理科)参考答案一、选择题：1.C2.D3.C4.A5.D6.A7.C8.B9.C 10.B 11.A 12.B 二、填空题：13. 373x 14. 15.5尺 15. π33216.1121622=+y x 012=--y x三、解答题： 17、【详解】 解：（1）∵a 、b 、c 成等差数列,且公差为4,∴44a b c b =-⎧⎨=+⎩,..................2分∵∠MCN =120°，∴2222cos c a b ab MCN =+-⋅∠,即()()()2224424cos120b b b b b +=-+--°,..............................4分 ∴b =10 ...............................................................6分 （2）由题意,在ABC ∆中,sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠,则()AC BC 12==sin sin120sin 60θθ︒︒-,∴83AC θ=,()8360BC θ=-．,..............................8分∴观景路线A -C -B 的长()()8383608360y AC BC θθθ=+=+-=+．．,且060θ<<．．..........................................................10分∴θ=30°时,观景路线A -C -B 长的最大值为83..............................12分18、【详解】 (1)如图，设11BC B C G ⋂=，连接AG.因为三棱柱的侧面11BCC B 为平行四边形，所以G 为1B C 的中点，因为1AC AB =，所以1AB C V 为等腰三角形，所以1B C AG ⊥..............................2分又因为AB⊥侧面11BCC B ，且1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥.......................................................3分 又因为AB AG A ⋂=，所以1B C ⊥平面AB 1C ，又因为1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1ABC ⊥平面1AB C ；.........................................5分（2）由（1）知1B C ⊥平面AB 1C ，所以1B C ⊥B 1C以G 为坐标原点，以1GC u u u u r 的方向为x 轴正方向，以1GB u u u r的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.........................................6分由1B C ⊥B 1C 易知四边形11BCC B 为菱形，因为12,60AB BC BCC ==∠=o所以111.3GB GC GC BG === 则可得()()()()1100010003102G C B A -，，，，，，，，，，，....................7分 所以()()111AC =202B C =1,3,0--u u u u v u u u u v，，， 设平面11AC B 的法向量(),,n x y z v=，由111AC =0B C =0n n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩u u u u v vu u u u v v 得：22030x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取z=1，所以，3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭v ..........9分 由（1）知1GB u u u r=()3,0为平面AB 1C 的法向量，.....................10分则()11133,0GB 7cosGB ,777GB 33n n nu u u u v v u u u u v v u u u u v v ⎛⎫⋅⎪⋅⎝⎭====⋅⋅易知二面角11B AC B --7...............................12分19、【详解】 （1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯62=．估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． .......................3分（2）列联表如下：水果达人 非水果达人 合计男 10 40 50女 20 30 50合计 30 70 10022100(10302040) 4.761 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． ........................7分（3）若选方案一：则需付款101210110⨯-=元；.........................8分若选方案二：设付款X 元，则X 可能取值为84，96，108，120．33311(84)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(96)228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，213113(108)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 30311(120)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()84961081201028888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．.......................11分因为102110<，所以选择方案二更划算．.............................................12分20、【详解】（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.∵抛物线的准线为，∴，解得，∴抛物线的方程为.............................5分（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：. 设，.............................................6分由消去得，，∴，.............................................8分由于抛物线也是函数的图象，且，则：.令，解得，∴，从而............................................9分同理可得，，...................................10分∴.∵，∴的取值范围为........................12分21【详解】（1）Q ()0f x >在0x >恒成立2⇔<x ea x在0x >恒成立，令2()x e g x x =，则2'432(2)()x x x e x e x e x g x x x -⋅-==，......................2分 '()02g x x >⇒>，'()002g x x <⇒<<，∴()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，.......................4分∴2min()(2)4e g x g ==，∴24e a <............................................................5分 （2）若1a =，则2()414f x x x >+-224140x e x x ⇔--+>在0x ≥恒成立，.....................................................6分 令2()2414x p x e x x =--+，∴'()44x p x e x =--，∴'()p x 在(0,ln 4)单调递减，在(ln 4,)+∞单调递增，..................8分又'(0)3p =-，'2'3(2)120,(3)160p e p e =-<=->，∴存在唯一的0(2,3)x ∈使得0'00()440x p x e x =--=，∴()p x 在0(0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，...................10分∴022min 000()2414218x p x e x x x =--+=-+，Q 0(2,3)x ∈，022min 000()2414218x p x e x x x =--+=-+(0,10)∈，∴2()2414x p x e x x =--+0>恒成立，...............................12分22、【详解】 （1）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程：2212y x +=，.............2分将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得22(sin )(cos )12ρθρθ+=，化简得C ：2221cos ρθ=+..........................................5分（2）由题意知，射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，∴1221cos OA ρα==+ 2221sin OB ρα==+..........................................7分∴()()2222221cos 1sin 1cos 1sin OA OB αααα=⋅=++++⋅22241cos 1sin 32αα=+++≥，当且仅当221cos 1sin αα+=+，即4πα=时，OA OB ⋅取最小值43........10分23、【详解】 （1）法一：由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，........................2分所以()1min f x =，所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.............................5分（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥， ∴1ab ≤，1ab ≤，当且仅当a b =时取等号，①.............................7分又2a b ab +≤，12ab ≤， ∴ab aba b ≤+，当且仅当a b =时取等号，②........................9分由①②得，∴12ab a b ≤+，所以2a b ab +≥..........................10分法二：分析法 因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥， 即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立， 所以2a b ab +≥。