第三章 离散傅里叶变换（DFT ）
1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
图 P3-1 分析
利用DFS 的定义求解。
解：由nk j n nk
n e n x W n x k X 6250650
)()()(~π
-==∑∑==
k j
k j
k j
k j
k j
e
e
e
e
e
56
246
236
226
26
21068101214πππππ-----+++++=
计算求得
,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~
+= , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~
+=
2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~
),(~
k X n x 。
分析
利用DFS 的定义求解。
解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e
e e n x W n x k X ππ
π
π
-----=+++===∑∑3
236250
650
1)(~)(~)(~
计算求得
,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~
=
,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~
=
)(~),(~k X n x 如图P3-2所示。
图 P3-2
3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。
现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y
⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,01
0),()(rN n N N n n x n y
试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。
分析
利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。
解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1
02)(N n nk N
j e
n x π
，10-≤≤N k
可得 nk
rN N n nk rN
N n W n x W
n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10
1
)()()]([)(
)()(1
2r
k
X e
n x N n l
k
n N j
==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k
所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l
倍时，)(k Y 与)(r
k
X 相等。
4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进
r-1个零值点，得到一个rN 点的有限长序列)(n y
⎩⎨⎧-===else N i ir n r n x n y ,01
,...,1,0,),()(
试求rN 点)]([n y DFT 与)(k X 的关系。
分析
离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以N 为周期延拓r 次，即)(k Y 周期为rN 。
解：由 )(k X = DFT[)(n x ]∑-==1
0)(N n nk
N W n x ， 10-≤≤N k
可得 k n N n nk rN
N n nk
rN
N n W i x W
r ir x W
n y n y DFT k Y ∑∑∑-=-=-=====1
1
1
)()()()]([)(，10-≤≤rN k
而 )())(()(k R k X k Y rN N =
所以)(k Y 是将)(k X （周期为N ）延拓r 次形成的，即)(k Y 周期为rN 。
5. 频谱分析的模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512个抽样的DFT ，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。
分析
利用频域抽样间隔0F 和时域抽样频率s f ，以及抽样点数N 的关系0NF f s =。
证明
由 π2s s f Ω=
， π
200Ω
=F 得
0ΩΩ=s s F f 其中s Ω是以角频率为变量的频谱周期，0Ω是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
N F f s
s =ΩΩ=0
则 N
f F s
=
0 对于本题有 8=s f kHz ，512=N
所以 625.15512
8000
0==
F Hz 6. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10 Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。
分析
抽样间隔T 和抽样频率s f 满足T f s /1=,记录长度0T 和频域分辨力0F 的关系为
001F T =。
抽样定理为h h s f f f (2>为信号最高频率分量),一个记录中最少抽样总数N
满足
002F f F f T T N h s >== 解： （1）因为00
1
T F =
，而010F Hz ≤，所以 01
10
T s ≥
即最小记录长度为0.1s 。
（2）因为311
10100.1
s f kHz T ==⨯=，而
2s h f f >
所以
1
52
h s f f kHz <
= 即允许处理的信号的最高频率为5 kHz 。
（3）300.1
1010000.1
T N T ≥=⨯=，又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数
为1021024N ==。
7. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换， （1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。
（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。
分析
这两个是有限长序列，当)(n x 满足关系式)1()(n N x n x --=时称)(n x 为偶对称序列，偶对称中心为2/)1(-=N n ；当)1()(n N x n x ---=时称)(n x 为奇对称序列，奇对称中心为2/)1(-=N n 。
在第七章中会讨论以它们作为单位抽样响应时滤波器特性的情况。
证明
（1） 因为 ∑-==1
0)()(N n nk
N W n x k X ，10-≤≤N k
当)1()(n N x n x ---=时
∑-=---=1
0])()1([)(N n nk
N
N W n R n N x k X ∑-=------=1
)
1()1(])())1(([N n N k N n N k N
N N W W n R n N x )
1(1
)(--=-∑-=N k N N n nk N W W n x
可以求得 )())(()()
1(k R W K X k X N N k N
N ---= 当0=k 时 )0()0()0(X X X -=--= 即 0)0(=X
(2) 依照（1），当)1()(n N x n x --=时，可得
∑-=--=1
0])())1(([)(N n nk
N
N N W n R n N x k X )())(()
1(k R W k X N N n N
N --= 当2
N
n =
（N 为偶数）时 )1(2
2)2
())2(()2(---=N N
N
j N N e
N R N X N X π
由N 为偶数，则有 1)1()1(2
2-==----N j N N
N j
e e
ππ 所以 )2
()2()2()2(N
X N N X N X N X -=--=--=
即 0)2
( N
X。