2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的 复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复 数能比较大小，则它们必是实数．
(1)复数 a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0，0. (2)集合表示：
2．复数相等的充要条件 如果 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c，且 b＝d ； a＋bi＝0⇔ a＝0，且 b＝0.
1．对复数 z＝a＋bi 只有在 a、b∈R 时，a 和 b 才分别是复 数的实部和虚部，并注意：虚部是实数 b 而非 bi.
复数的概念与分类 [例 2] (12 分)当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2 －2m)i 为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
[精解详析] (1)当mm2≠－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，且 m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时， 复数 z 是虚数；
提示：有解(x＝i)，但不在实数范围内． 问题 3：设想新数 i 和实数 b 相乘后再与 a 相加，且满足加 法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？ 提示：a＋bi(a，b∈R)的形式．
1．复数的概念 设 a，b 都是实数，形如 a＋bi 的数叫做复数． 2．复数的表示： 复数通常用小写字母 z 表示，即 z＝a＋bi (a，b∈R)，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部，i 称作虚数单位.
3．已知 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若 M
∪P＝P，求实数 m 的值． 解：∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得mm22－ ＋2mm－＝2－ ＝10， ， 解得 m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得mm22－ ＋2mm－＝2＝0，4， 解得 m＝2. 综上可知 m＝1 或 m＝2.
1．若 5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则 x＝______，y＝________. 答案：－12 5
2．已知复数 z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且 z1 ＝z2，则实数 m＝________，n＝________. 解析：根据两个复数相等的充要条件得 －3＝n2－3m－1， －4＝n2－m－6， 解得：mn＝＝22，， 或mn＝＝－2，2. 答案：2 ±2
解：(1)要使复数 z 为实数，需满足mm22－＋23mm－＋22>＝00，， 解得 m＝－2 或－1. 即当 m＝－2 或－1 时，z 是实数． (2)要使复数 z 为纯虚数，需满足mm22－＋23mm－＋22＝≠10，， 解得 m＝3. 即当 m＝3 时，z 是纯虚数．
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实 数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数 bi(b≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意 b≠0.
4．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1 或 1
解析：由复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数得
x2－1＝0， x－1≠0，
解得 x＝－1.
答案：A
5．设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当 m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？
[思路点拨] 先利用复数相等的充要条件列出关于 x，y 的方 程，然后解出 x，y 的值．
[精解详析] 根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i， 得21x＝－－1＝ 3－y，y，
解得x＝52， y＝4.
∴x＝52，y＝4.
[一点通] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部 与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应 用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
2．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相 等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
3．利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解 决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提 供了条件．
复数相等的充要条件
[例 1] 已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中 x，y∈R，i 为虚 数单位．求实数 x，y 的值．
3.1 3.1.
数 1&
系 3.1.
的
2
第扩 三充 章与
复
实 数 系 复
数
数
的
的
概概念来自念理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二
复数的概念及代数表示
问题 1：方程 x2＋1＝0 在实数范围内有解吗？ 提示：没有．
问题 2：若有一个新数 i 满足 i2＝－1，试想方程 x2＋1＝0 有 解吗？
(3)当m2＋mm－6＝0， m2－2m≠0，
即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
(4 分) (8 分) (12 分)
[一点通] 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列 出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时， 注意参数本身的取值范围，如分母不能为 0.
复数的分类与相等
问题 1：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b＝0 时，z 是什么数？ 提示：b＝0 时，z＝a 为实数． 问题 2：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时，z 是 什么数？ 提示：当 a＝0，b≠0 时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数．
1．复数的分类 实数b＝0，