A 则△ AQP～△ABC
5+t D
2t AQ AP AB AC
Q
B
P 5 t 2t
C
10
6
t 15 7
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， 点P由点A出发 ，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问 题。
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (1)点P从点A沿边AB向点B运动，速度为1cm/s,时间为t(s).
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
A 30° P
7
若△PBC为等腰三角形
C
则PB=BC
4 B
∴7-t=4
∴t=3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
小组合作交流讨论
D
C
4 P
A
7
B
当BP=BC时
D（钝角）
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
当CB=CP时
D
C
4
A
7
B
P
当BP=BC时
D
C
的好助手：
E
数形结合定相似
A
B
P
比例线段构方程
D
C
E
A
B
P
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm，
点P由点A出发
，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时
点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，
连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
（1）当t为何值时，PQ∥BC? 若PQ∥BC
C
5、等腰梯形
思
化动为静
分类讨论
路
构建函数模型、方程模型
3、求面积
A
M
D
P
Q
B
C
6、直角三角形
A
B' B
A
B'
B
P D
E' E
E4
A
7
B
P
当CB=CP时
当PB=PC时
∴t=3或11或7+ 4 3或 4 3/3 +7 时 △PBC为等腰三角形
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
1.如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段
DP过线段BC的三等分点？ 解决动点问题
（锐角)
D
C
E4
A
7
B
P
当PB=PC时
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
D
C
4 P
A
7
B
当BP=BC时
D(钝角)
C
4
A
7
B
P
当BP=BC时
(锐角)
D
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
九年级动点问题解析
最后一题并不可怕，更要有信心！
图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题---动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、 动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力， 不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化 “动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的 关系式，就能找到解决问题的途径。
D
Q
∟
A 在RtABC中，C 90
SinA 8 10
P
QN 8
N
AQ 10
B
C
QN 8
5 t 10
三角函数法
QN 4 4 t 5
y 1 2t 4 4 t
2
5
y 4 t 2 4t 5
2.(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与△ ABC的面积 比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。
(2)设△ APQ的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系。
A
A
M
D
P
D
P
Q
Q
∟
N
B
CB
C
2.(2)
D
Q
B
相似法
∟
A
∵△AQN∽ △ABC
P
QN AQ
BC
AB
N
QN 5 t
C
8
10
QN 4 4 t
5
y 1 2t 4 4 t
2
5
y 4 t 2 4t 5
2.(2)
A
S ABC
1 86 2
24
D
P
Q
B
C
计算要仔细
y
7
S ABC
15
4 t 2 4t 7 24
5
15
t2 5t 14 0
(t 7)(t 2) 0
t 7(舍去）,t 2
∴当t=2时， △ APQ的面积与△ ABC的面积比为7︰15
2.（4）连接DP,得到△QDP，那么是否存在某一时刻t，使得点 D在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在， 说明理由。
∴t=7，∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。
t
┌
E
F┐
3t
5.如图(1):在梯形ABCD中: AD=BC=5cm, AB=4cm, CD=10cm,BE∥AD。 如图(2):若整个△BEC从点E以1cm/s的速度沿射线CD平移，同时，
点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，时间为t（0＜t≤4）
tD
Q
B
A
4
3 2t
∟G
P
C
∵点D在线段PQ的中垂线上 ∴DQ=DP
DQ2 DP2
t 2 42 (2t 3)2
3t 2 12t 25 0
∵ △ = —156<0
.
∴方程无解。
即点D都不可能在线段QP的中垂线 上。
4. （ 2009 中 考 ） 例 1 、 如 图 ， 已 知 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ，
t为何值时，△PDE 为直角三角形？
4
A
B
A
B'
B
5
5
5
P
D4
E
6
C
D
E' E
C
4
A
B
5
5
5
4
D4
E3
பைடு நூலகம்
3C
A
B' B
A
B'
B
tP
4-t D
E' E
t 3 4t 5
C
∴t=1.5
P
t
D4-t E'
E
C
4 t 3 ∴t=2.5
t
5
小结：
积累就是知识
1、比例
D
C
A
B
4、平行四边形
2、平行
A
D
QP
B
1t
3t
26
4(1)解：
要使四边形PQCD为平行四边形，只要QC=PD
∴3t=24-t
∴t=6，
∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形
24 1t
3t
26
4.2)解：
由题意，只要PQ=CD，则四边形PQCD为等腰梯形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F:
则EF=PD，QE=FC=2
∴3t--4=24--t
AD∥BC ，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A 开始沿AD边向点D，以1cm/秒的速度运动，动点Q从点C开始
沿CB向点B以3厘米/秒的速度运动，P、Q分别从点A点C同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运
动时间为t秒，求： 1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形 2) t为何值时，等腰梯形？ 24